Исходя из интегрального представления (2), имеем

 

Если а(t) – непрерывная функция, то

(а(t) d(t), j(t)) = (d(t), а(t) j(t)) = a(o) j(o) (j Î K^o).

Отметим, что функционал f, определенный на K соотношением

не является обобщенной функцией, так как, являясь непрерывным функционалом, он не линеен.

3. Обобщенная функция Хевисайда

 

для которой можно записать

 

 

является регулярной обобщенной функцией.

 

Действия над обобщенными функциями

 

Введем в пространстве обобщенных функций K' операцию предельного перехода. Последовательность  сходится к f, если для любого j Î K выполнено следующее соотношение

 

(f_n, j) ® (f, j)

n ®¥

 

Определим теперь для обобщенных функций операцию дифференцирования и рассмотрим ее свойства. Производная f '(t) регулярной обобщенной функции f (t) равна

 

так как основная функция обращается в нуль вне некоторого конечного интервала. Производная n – го порядка будет тогда определяться равенством

 

(f⁽ⁿ⁾ (t), j(t) = (-1)ⁿ (f (t), j⁽ⁿ⁾ (t)) (" n Î N, j Î K).

 

Это соотношение определяет производную n – го порядка обобщенных функций, включая и сингулярные функции.

Примеры:

1. Производная функции Хевисайда равна

2. Так как

то

 

Из определения дельта – функции следует

t d(t) = 0,

а значит

 

d(t) + t d'(t) = 0,

2d'(t) + t d''(t) = 0,

---------------------

nd^(n-1)(t) + t d⁽ⁿ⁾(t) = 0.

Отсюда последовательным исключением получаем

 

tⁿ d⁽ⁿ⁾ (t) = (-1) n! d(t) n Î N.

Методом математической индукции можно показать, что

 

 

Легко также показать, что если a(t) Î C^m, то

 

a(t) d^(m) (t – t_o) = C^o_m a (t_o) d^(m) (t – t_o) - C¹_m a' (t_o) d^(m-1) (t – t_o) –

-... – (-1)C^m_m a^(m) (t_o) d (t – t_o).

 

Введем обобщенные функции t ₊ и t _-:

 

тогда

 

Можно вычислить производные

 

(t₊)' = q(t), (t_-)' = -q(-t),

 

а также

n