Проективні перетворення

Перелік умовних позначок

 

У роботі всі розглянуті групи передбачаються кінцевими. Буквами  позначаються прості числа.

Будемо розрізняти знак включення множин  і знак строгого включення ;

 і  - відповідно знаки перетинання й об'єднання множин;

 - потужність множини ;

 - порожня множина;

 - множина всіх простих чисел;

 - деяка множина простих чисел, тобто ;

 - доповнення до  у множині всіх простих чисел; зокрема, ;

Нехай  - група. Тоді:

 - порядок групи ;

 - порядок елемента  групи ;

 - одиничний елемент і одинична підгрупа групи ;

 - множина всіх простих дільників порядку групи ;

 - множина всіх різних простих дільників натурального числа ;

 - група - група , для якої ;

 - група - група , для якої ;

 - підгрупа Фратіні групи , тобто перетинання всіх максимальних підгруп ;

 - найбільша нормальна розв'язна підгрупа групи ;

 - найбільша нормальна --підгрупа групи ;

 - найбільша нормальна --підгрупа групи ;

 - --холовська підгрупа групи ;

 - силовська --підгрупа групи ;

 - доповнення до силовської --підгрупи в групі , тобто --холовська підгрупа групи ;

 -  є підгрупою групи ;

 -  є власною підгрупою групи ;

 -  є максимальною підгрупою групи ;

 -  є нормальною підгрупою групи ;

 -  є мінімальною нормальною підгрупою групи ;

 - індекс підгрупи  в групі ;

;

 - централізатор підгрупи  в групі ;

 - нормалізатор підгрупи  в групі ;

 - центр групи ;

 - циклічна група порядку ;

Якщо , то .

Якщо , , то .

Класи груп, тобто сукупності груп, замкнуті відносно ізоморфізмов, позначаються прописними готичними буквами. За деякими класами закріплені стандартні позначення:

 - клас всіх груп;

 - клас всіх розв'язних груп.

 

Основні поняття

 

Групою називається непуста множина  з бінарною алгебраїчною операцією (множенням), що задовольняє наступною вимогою:

1) операція визначена на , тобто  для всіх ;

2) операція асоціативна, тобто  для будь-яких ;

3) в  існує одиничний елемент, тобто такий елемент , що  для всіх , що  для всіх ;

4) кожний елемент володіє зворотним, тобто для кожного  існує такий елемент , що .

Більш коротко: напівгрупа з одиницею, у якій кожний елемент володіє зворотним, називається групою.

Групу з комутативною операцією називають комутативною або абелевої. Якщо  - кінцева множина, що є групою, то  називають кінцевою групою, а число  елементів в  - порядком групи .

Підмножина  групи  називається підгрупою, якщо  - група щодо тієї ж операції, що визначена на . Запис  означає, що  - підгрупа групи , а  - що  - власна підгрупа групи , тобто  й .

Теорема 1 Непуста підмножина  групи  буде підгрупою тоді й тільки тоді, коли  й  для всіх .

Нехай  - непуста підмножина групи . Сукупність всіх елементів групи , з кожним елементом множини , називається централізатором множини  в групі  й позначається через .

Лема 2 1. Якщо  - підмножина групи , то централізатор  є підгрупою.

2. Якщо  й  - підмножина групи  й , то .

3. Якщо  - підмножина групи  й , то .

Центром групи  називається сукупність всіх елементів з , з кожним елементом групи. Центр позначається через . Ясно, що , тобто центр групи  збігається із централізатором підмножини  в групі . Крім того, .

Зафіксуємо в групі  елемент . Перетинання всіх підгруп групи , що містять елемент , назвемо циклічною підгрупою, породженої елементом , і позначимо через .

Теорема 3 Циклічна підгрупа , породжена елементом , складається із усіляких цілих ступенів елемента , тобто .

Наслідок 4 Циклічна підгрупа абелева.

Нехай  - елемент групи . Якщо всі ступені елемента  різні, тобто  для всіх цілих , то говорять, що елемента  має нескінченний порядок.

Якщо  - непуста підмножина групи  й  те  й . Елемент  називається перестановочним з підмножиною , якщо . Рівність  означає, що для будь-якого елемента  існує такий елемент , що . Якщо елемент  перестановочний з підмножиною , то  й . Сукупність всіх елементів групи , перестановочних з підмножиною , називається нормалізатором підмножини  в групі  й позначається через . Отже,

 

 

5. Нехай  - непуста підмножина групи ,  - довільний елемент групи . Тоді:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) якщо  - підгрупа групи , те .

Підгрупа  називається нормальною підгрупою групи , якщо  для всіх . Запис  читається: " - нормальна підгрупа групи ". Рівність  означає, що для будь-якого елемента  існує елемент  такий, що .

Теорема. 6 Для підгрупи  групи  наступні твердження еквівалентні:

1)  - нормальна підгрупа;

2) підгрупа  разом з кожним своїм елементом містить всі йому сполучені елементи, тобто  для всіх ;

3) підгрупа  збігається з кожною своєю сполученою підгрупою, тобто  для всіх .

Нехай  - підгрупа групи . Тоді:

1) ;

2) якщо  й , те ;

3)  - найбільша підгрупа групи , у якій  нормальна;

4) якщо , те . Обернено, якщо , те ;

5)  для будь-якої непустої підмножини  групи .

У кожній групі  тривіальні підгрупи (одинична підгрупа  й сама група ) є нормальними підгрупами. Якщо в неодиничній групі  немає інших нормальних підгруп, то група  називається простій. Одиничну групу  вважають непростий.

 

Ізометрії

 

Знакозмінні простори

Векторний простір  над полем  називається знакозмінним, якщо на ньому задана знакозмінна білінійна форма , тобто відображення  з наступними властивостями:

 

 

для всіх , ,  з  і всіх  з . Відзначимо наслідок цих співвідношень: . Якщо  - знакозмінна форма й  - довільний елемент із , то відображення , певне формулою , і складний об'єкт, що є вихідним векторним простором  із цією новою формою , буде знакозмінним простором, що ми позначимо через .

Уявлення знакозмінного простору  в знакозмінний простір  (обоє над полем  і з формами, позначуваними через ) є по визначенню лінійне перетворення  простору  в , таке, що  для всіх , . Інвективне уявлення називається ізометрією  в.  Простору  й  називаються ізометричними, якщо існує ізометрія  на . Нехай  позначає уявлення,  - ізометрію ``в'', а  або  - ізометрію ``на''. Очевидно, що композиція дві ізометрії - ізометрія й перетворення, зворотне до ізометрії, - також ізометрія. Зокрема, множину ізометрій простору  на себе є підгрупою загальної лінійної групи  абстрактного векторного простору ; вона називається симплектичною групою знакозмінного простору  й позначається через . Для будь-якого ненульового елемента  з  маємо .

Пропозиція.7 Нехай  - лінійне перетворення знакозмінного простору  в знакозмінний простір . Припустимо, що існує база  простору , така, що  для всіх , . Тоді  - уявлення.

Доказ. Це тривіально треба з визначень.

Кожному знакозмінному простору  зі знакозмінною формою  зіставимо відображення  й  простори  в сполучений простір  ( розглядається як абстрактний векторний простір над ). По визначенню відображення  зіставляє довільному елементу  з  лінійний функціонал , певний формулою , а  переводить  в.  Легко перевіряється, що  і  є лінійними перетвореннями.

 - матриця  над  називається косо симетричною, якщо , і знакозмінної, якщо  й на головній діагоналі коштують нулі. Таким чином, знакозмінні матриці є косо симетричними. Обернено, косо симетричні матриці є знакозмінними, якщо характеристика поля  не дорівнює . Розглянемо знакозмінний простір . Ми можемо асоціювати з базою  простору  матрицю, у якої на місці  коштує . Назвемо  матрицею знакозмінного простору  в базі  й будемо писати

Якщо існує хоча б одна база, у якій  має матрицю , то будемо писати . Матриця , асоційована зі знакозмінним простором  зазначеним способом, є, мабуть, знакозмінної. Що відбувається при зміні бази? Припустимо, що  в базі  й  - матриця переходу від першої бази до другого, тобто . Тоді  звідки видно, що зміна матриці простору  при зміні бази описується співвідношенням .

Якщо  - абстрактний векторний простір з базою  й  - довільна знакозмінна  - матриця над , то існує єдиний спосіб перетворити  в знакозмінний простір, таке, що  в , а саме, покласти , де  - елемент, що стоїть в матриці  на місці . Пропозицію 8 Припустимо, що  - знакозмінний простір,  - його база й  в.  Тоді матричний ізоморфізм, певний базою , відображає  на групу всіх оборотних  - матриць  над , що задовольняють співвідношенню

Дискримінантом  векторів  у знакозмінному просторі  називається визначник

Зокрема, якщо  - база простору  й  у цій базі, те  Якщо  - інша база, то співвідношення  показує, що  для якогось  із . Отже, канонічний образ елемента  в  не залежить від бази; він називається дискримінантом знакозмінного простору  й позначається через . Тут множина  визначається очевидним образом: беремо , приєднуємо до неї нуль 0 і думаємо, що добуток нуля й будь-якого іншого елемента дорівнює нулю. Запис , де , буде позначати, що  дорівнює канонічному образу елемента  в  або, інакше кажучи, що  має базу , для якої . Якщо , то думаємо .

Приклад 9Розглянемо знакозмінний простір  зі знакозмінною формою . Нехай  - його база, а  - сполучена база сполученого простору . Нехай  в.  Тоді . Легко бачити, що матриця лінійного перетворення , певного раніше, щодо баз  і  дорівнює ; дійсно, якщо , те

 

 

Аналогічно матриця перетворення  щодо баз  і  дорівнює .

Пропозиція 10 Будь-які  векторів  знакозмінного простору , такі, що , лінійно незалежно.

Доказ. Залежність  спричиняє  для . Це означає залежність між рядками матриці , що неможливо, тому що дискримінант не дорівнює 0.

Пропозиція11 Наступні твердження для знакозмінного простору  рівносильні:

 

,

,

,

 

 біективно,  біективно.

Доказ. Можна вважати, що . Зафіксуємо базу  простору , і нехай  - сполучена база. Нехай  в.  Через

 

	оборотна
	біективно,

 

тому (3) рівносильне (5). Аналогічно (3) рівносильне (4). Далі

 

біективно
	,

 

так що (5) рівносильне (2). Нарешті, мабуть, що (2) рівносильне (1).

Визначення 12Знакозмінний простір  називається регулярним, якщо воно задовольняє одному з п'яти рівносильних умов. Знакозмінний простір  називається виродженим, якщо воно не є регулярним. Нарешті, воно називається цілком виродженим, якщо .

Якщо , то  регулярно. Якщо , то через і

 

 

Пропозиція.13 Нехай  - уявлення знакозмінних просторів. Якщо  регулярно, то  - ізометрія.

Доказ. Візьмемо  з ядра уявлення . Тоді . Звідси через регулярність простору  одержуємо, що .

Пропозиція 14Кожній базі  регулярного знакозмінного простору  відповідає єдина база  цього простору, називана сполученої до  відносно  й така, що  для всіх , . Якщо  в  и  в , то .

Доказ.1) Покладемо  для , де  - сполучена до  база сполученого простору . Тоді  - база, тому що  біективно. Крім того, . Цим доведене існування бази . Одиничність безпосередньо треба з регулярності. 2) Нехай . Тоді  й  Звідси , так що  й .

Розглянемо знакозмінний простір  зі знакозмінною формою . Будемо говорити, що  має ортогональне розкладання  на підпростори  якщо воно є прямою сумою  з попарно ортогональними , тобто  при . Назвемо  компонентами цього ортогонального розкладання. Будемо говорити, що підпростір  розщеплює  або що  є компонентом простору , якщо існує підпростір  простору , таке, що . Маємо  де добуток береться в.

Розглянемо два знакозмінних простори  й  над тим самим полемо  й припустимо, що є ортогональне розкладання , а  - сума просторів , , причому  при . Нехай для кожного , , задане уявлення . Тоді, як відомо з лінійної алгебри, існує єдине лінійне перетворення , що погодиться з кожним  на . Насправді легко перевірити, що  - уявлення. Ми будемо записувати його у вигляді

Важливим є випадок, коли ,  для всіх  і  для всіх ; тоді

Якщо дано ще одне таке уявлення , то

 

 

Розглянемо знакозмінний простір  над полем . Під ортогональним доповненням підпростору  простору  в  розуміється підпростір

 

 

співпадаюче також з

 

 

Визначимо радикал простору  як підпростір . Очевидно,

 

 

Пропозиція15 Нехай  - знакозмінний простір, що є сумою попарно ортогональних підпросторів, тобто , де  при . Тоді

 

,

 

 регулярно  кожне  регулярно,

 регулярно .

Доказ. (1) Візьмемо в  довільний елемент  і запишемо його у вигляді , . Тоді

 

 

так що , звідки . Обернено, якщо , де , те  звідки . (2) Це треба з (1) і того, що знакозмінний простір регулярний тоді й тільки тоді, коли його радикал дорівнює . (3) Якщо , , те