Перелік умовних позначок
У роботі всі розглянуті групи передбачаються кінцевими. Буквами позначаються прості числа.
Будемо розрізняти знак включення множин і знак строгого включення ;
і - відповідно знаки перетинання й об'єднання множин;
- потужність множини ;
- порожня множина;
- множина всіх простих чисел;
- деяка множина простих чисел, тобто ;
- доповнення до у множині всіх простих чисел; зокрема, ;
Нехай - група. Тоді:
- порядок групи ;
- порядок елемента групи ;
- одиничний елемент і одинична підгрупа групи ;
- множина всіх простих дільників порядку групи ;
- множина всіх різних простих дільників натурального числа ;
- група - група , для якої ;
- група - група , для якої ;
- підгрупа Фратіні групи , тобто перетинання всіх максимальних підгруп ;
- найбільша нормальна розв'язна підгрупа групи ;
- найбільша нормальна --підгрупа групи ;
- найбільша нормальна --підгрупа групи ;
- --холовська підгрупа групи ;
- силовська --підгрупа групи ;
|
|
- доповнення до силовської --підгрупи в групі , тобто --холовська підгрупа групи ;
- є підгрупою групи ;
- є власною підгрупою групи ;
- є максимальною підгрупою групи ;
- є нормальною підгрупою групи ;
- є мінімальною нормальною підгрупою групи ;
- індекс підгрупи в групі ;
;
- централізатор підгрупи в групі ;
- нормалізатор підгрупи в групі ;
- центр групи ;
- циклічна група порядку ;
Якщо , то .
Якщо , , то .
Класи груп, тобто сукупності груп, замкнуті відносно ізоморфізмов, позначаються прописними готичними буквами. За деякими класами закріплені стандартні позначення:
- клас всіх груп;
- клас всіх розв'язних груп.
Основні поняття
Групою називається непуста множина з бінарною алгебраїчною операцією (множенням), що задовольняє наступною вимогою:
1) операція визначена на , тобто для всіх ;
2) операція асоціативна, тобто для будь-яких ;
3) в існує одиничний елемент, тобто такий елемент , що для всіх , що для всіх ;
4) кожний елемент володіє зворотним, тобто для кожного існує такий елемент , що .
Більш коротко: напівгрупа з одиницею, у якій кожний елемент володіє зворотним, називається групою.
Групу з комутативною операцією називають комутативною або абелевої. Якщо - кінцева множина, що є групою, то називають кінцевою групою, а число елементів в - порядком групи .
Підмножина групи називається підгрупою, якщо - група щодо тієї ж операції, що визначена на . Запис означає, що - підгрупа групи , а - що - власна підгрупа групи , тобто й .
Теорема 1 Непуста підмножина групи буде підгрупою тоді й тільки тоді, коли й для всіх .
|
|
Нехай - непуста підмножина групи . Сукупність всіх елементів групи , з кожним елементом множини , називається централізатором множини в групі й позначається через .
Лема 2 1. Якщо - підмножина групи , то централізатор є підгрупою.
2. Якщо й - підмножина групи й , то .
3. Якщо - підмножина групи й , то .
Центром групи називається сукупність всіх елементів з , з кожним елементом групи. Центр позначається через . Ясно, що , тобто центр групи збігається із централізатором підмножини в групі . Крім того, .
Зафіксуємо в групі елемент . Перетинання всіх підгруп групи , що містять елемент , назвемо циклічною підгрупою, породженої елементом , і позначимо через .
Теорема 3 Циклічна підгрупа , породжена елементом , складається із усіляких цілих ступенів елемента , тобто .
Наслідок 4 Циклічна підгрупа абелева.
Нехай - елемент групи . Якщо всі ступені елемента різні, тобто для всіх цілих , то говорять, що елемента має нескінченний порядок.
Якщо - непуста підмножина групи й те й . Елемент називається перестановочним з підмножиною , якщо . Рівність означає, що для будь-якого елемента існує такий елемент , що . Якщо елемент перестановочний з підмножиною , то й . Сукупність всіх елементів групи , перестановочних з підмножиною , називається нормалізатором підмножини в групі й позначається через . Отже,
5. Нехай - непуста підмножина групи , - довільний елемент групи . Тоді:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) якщо - підгрупа групи , те .
Підгрупа називається нормальною підгрупою групи , якщо для всіх . Запис читається: " - нормальна підгрупа групи ". Рівність означає, що для будь-якого елемента існує елемент такий, що .
Теорема. 6 Для підгрупи групи наступні твердження еквівалентні:
1) - нормальна підгрупа;
2) підгрупа разом з кожним своїм елементом містить всі йому сполучені елементи, тобто для всіх ;
3) підгрупа збігається з кожною своєю сполученою підгрупою, тобто для всіх .
Нехай - підгрупа групи . Тоді:
1) ;
2) якщо й , те ;
3) - найбільша підгрупа групи , у якій нормальна;
4) якщо , те . Обернено, якщо , те ;
5) для будь-якої непустої підмножини групи .
У кожній групі тривіальні підгрупи (одинична підгрупа й сама група ) є нормальними підгрупами. Якщо в неодиничній групі немає інших нормальних підгруп, то група називається простій. Одиничну групу вважають непростий.
Ізометрії
Знакозмінні простори
Векторний простір над полем називається знакозмінним, якщо на ньому задана знакозмінна білінійна форма , тобто відображення з наступними властивостями:
для всіх , , з і всіх з . Відзначимо наслідок цих співвідношень: . Якщо - знакозмінна форма й - довільний елемент із , то відображення , певне формулою , і складний об'єкт, що є вихідним векторним простором із цією новою формою , буде знакозмінним простором, що ми позначимо через .
Уявлення знакозмінного простору в знакозмінний простір (обоє над полем і з формами, позначуваними через ) є по визначенню лінійне перетворення простору в , таке, що для всіх , . Інвективне уявлення називається ізометрією в. Простору й називаються ізометричними, якщо існує ізометрія на . Нехай позначає уявлення, - ізометрію ``в'', а або - ізометрію ``на''. Очевидно, що композиція дві ізометрії - ізометрія й перетворення, зворотне до ізометрії, - також ізометрія. Зокрема, множину ізометрій простору на себе є підгрупою загальної лінійної групи абстрактного векторного простору ; вона називається симплектичною групою знакозмінного простору й позначається через . Для будь-якого ненульового елемента з маємо .
|
|
Пропозиція.7 Нехай - лінійне перетворення знакозмінного простору в знакозмінний простір . Припустимо, що існує база простору , така, що для всіх , . Тоді - уявлення.
Доказ. Це тривіально треба з визначень.
Кожному знакозмінному простору зі знакозмінною формою зіставимо відображення й простори в сполучений простір ( розглядається як абстрактний векторний простір над ). По визначенню відображення зіставляє довільному елементу з лінійний функціонал , певний формулою , а переводить в. Легко перевіряється, що і є лінійними перетвореннями.
- матриця над називається косо симетричною, якщо , і знакозмінної, якщо й на головній діагоналі коштують нулі. Таким чином, знакозмінні матриці є косо симетричними. Обернено, косо симетричні матриці є знакозмінними, якщо характеристика поля не дорівнює . Розглянемо знакозмінний простір . Ми можемо асоціювати з базою простору матрицю, у якої на місці коштує . Назвемо матрицею знакозмінного простору в базі й будемо писати
Якщо існує хоча б одна база, у якій має матрицю , то будемо писати . Матриця , асоційована зі знакозмінним простором зазначеним способом, є, мабуть, знакозмінної. Що відбувається при зміні бази? Припустимо, що в базі й - матриця переходу від першої бази до другого, тобто . Тоді звідки видно, що зміна матриці простору при зміні бази описується співвідношенням .
Якщо - абстрактний векторний простір з базою й - довільна знакозмінна - матриця над , то існує єдиний спосіб перетворити в знакозмінний простір, таке, що в , а саме, покласти , де - елемент, що стоїть в матриці на місці . Пропозицію 8 Припустимо, що - знакозмінний простір, - його база й в. Тоді матричний ізоморфізм, певний базою , відображає на групу всіх оборотних - матриць над , що задовольняють співвідношенню
Дискримінантом векторів у знакозмінному просторі називається визначник
Зокрема, якщо - база простору й у цій базі, те Якщо - інша база, то співвідношення показує, що для якогось із . Отже, канонічний образ елемента в не залежить від бази; він називається дискримінантом знакозмінного простору й позначається через . Тут множина визначається очевидним образом: беремо , приєднуємо до неї нуль 0 і думаємо, що добуток нуля й будь-якого іншого елемента дорівнює нулю. Запис , де , буде позначати, що дорівнює канонічному образу елемента в або, інакше кажучи, що має базу , для якої . Якщо , то думаємо .
|
|
Приклад 9Розглянемо знакозмінний простір зі знакозмінною формою . Нехай - його база, а - сполучена база сполученого простору . Нехай в. Тоді . Легко бачити, що матриця лінійного перетворення , певного раніше, щодо баз і дорівнює ; дійсно, якщо , те
Аналогічно матриця перетворення щодо баз і дорівнює .
Пропозиція 10 Будь-які векторів знакозмінного простору , такі, що , лінійно незалежно.
Доказ. Залежність спричиняє для . Це означає залежність між рядками матриці , що неможливо, тому що дискримінант не дорівнює 0.
Пропозиція11 Наступні твердження для знакозмінного простору рівносильні:
,
,
,
біективно, біективно.
Доказ. Можна вважати, що . Зафіксуємо базу простору , і нехай - сполучена база. Нехай в. Через
оборотна | |
біективно, |
тому (3) рівносильне (5). Аналогічно (3) рівносильне (4). Далі
біективно | |
, |
так що (5) рівносильне (2). Нарешті, мабуть, що (2) рівносильне (1).
Визначення 12Знакозмінний простір називається регулярним, якщо воно задовольняє одному з п'яти рівносильних умов. Знакозмінний простір називається виродженим, якщо воно не є регулярним. Нарешті, воно називається цілком виродженим, якщо .
Якщо , то регулярно. Якщо , то через і
Пропозиція.13 Нехай - уявлення знакозмінних просторів. Якщо регулярно, то - ізометрія.
Доказ. Візьмемо з ядра уявлення . Тоді . Звідси через регулярність простору одержуємо, що .
Пропозиція 14Кожній базі регулярного знакозмінного простору відповідає єдина база цього простору, називана сполученої до відносно й така, що для всіх , . Якщо в и в , то .
Доказ.1) Покладемо для , де - сполучена до база сполученого простору . Тоді - база, тому що біективно. Крім того, . Цим доведене існування бази . Одиничність безпосередньо треба з регулярності. 2) Нехай . Тоді й Звідси , так що й .
Розглянемо знакозмінний простір зі знакозмінною формою . Будемо говорити, що має ортогональне розкладання на підпростори якщо воно є прямою сумою з попарно ортогональними , тобто при . Назвемо компонентами цього ортогонального розкладання. Будемо говорити, що підпростір розщеплює або що є компонентом простору , якщо існує підпростір простору , таке, що . Маємо де добуток береться в.
Розглянемо два знакозмінних простори й над тим самим полемо й припустимо, що є ортогональне розкладання , а - сума просторів , , причому при . Нехай для кожного , , задане уявлення . Тоді, як відомо з лінійної алгебри, існує єдине лінійне перетворення , що погодиться з кожним на . Насправді легко перевірити, що - уявлення. Ми будемо записувати його у вигляді
Важливим є випадок, коли , для всіх і для всіх ; тоді
Якщо дано ще одне таке уявлення , то
Розглянемо знакозмінний простір над полем . Під ортогональним доповненням підпростору простору в розуміється підпростір
співпадаюче також з
Визначимо радикал простору як підпростір . Очевидно,
Пропозиція15 Нехай - знакозмінний простір, що є сумою попарно ортогональних підпросторів, тобто , де при . Тоді
,
регулярно кожне регулярно,
регулярно .
Доказ. (1) Візьмемо в довільний елемент і запишемо його у вигляді , . Тоді
так що , звідки . Обернено, якщо , де , те звідки . (2) Це треба з (1) і того, що знакозмінний простір регулярний тоді й тільки тоді, коли його радикал дорівнює . (3) Якщо , , те