Физические модели при введении понятия интеграла

Рассмотрим выше описанные подходы на наиболее распространенных среди авторов учебников примерах физических моделей из разных разделов физики (механика, электродинамика, кинематика и др.).

Интеграл как предел интегральных сумм.

Работа переменной силы.

Довольно распространенный пример практической задачи, решение которой сводится к вычислению определенного интеграла, это задача о работе переменной силы. [2], [8]

Задача. Предположим, что на точку, движущуюся по оси х, действует некоторая сила F, направленная по той же оси. Мы знаем, что если сила F  постоянна, то работа равна Fs, где s – путь, пройденный точкой. Предположим теперь, что F меняется от точки к точке и нам известно её значение F(х) в каждой точке х некоторого промежутка [ a; b ]. Как найти работу А по перемещению точки из а в b?

Разобьем отрезок [ a; b ] на n отрезков. Будем приближенно считать, что на каждом отрезке сила постоянна. В качестве постоянной силы на отрезке [ x_k-1; x_k ] можно взять значение функции F в одной из точек этого отрезка, например в точке x_k. Работу на k – отрезке пути приближенно можно представить как произведение F(x_k) Δ x_k, а на всем отрезке – суммой:

      A_n=F(x₁) Δ x₁+…+F(x_n) Δ x_n.                               (1)

Таким образом, работу А по перемещению точки из а в b можно приближенно вычислять по формуле (1).

Сумму (1) называют интегральной суммой функции F(x) на отрезке [ a; b ]. При этом предполагается, что функция F(x) непрерывна на отрезке [ a; b ] и может принимать любые значения. Если  и длины отрезков разбиения стремятся к нулю, то интегральная сумма A_n стремится к некоторому числу, которое и называют интегралом от функции F(x) на отрезке [ a; b ] и обозначают .

  2. Задача о вычислении массы стержня.

Довольно популярна среди авторов учебников задача о вычислении массы стержня. [8], [10]

Задача. Дан прямолинейный неоднородный стержень, плотность которого в точке x вычисляется по формуле p=p(x). Найти массу стержня.

Рассмотрим массу стержня на отрезке [ a; b ]. Разобьём отрезок на n равных частей. Будем приближенно считать, что на каждом отрезке плотность постоянна. В качестве постоянной плотности на отрезке [ x_k-1; x_k ] можно взять значение функции р в одной из точек этого отрезка, например в точке x_k. Массу на k – отрезке приближенно можно представить как произведение р (x_k) Δ x_k, а на всем отрезке – суммой:

      m_n=p(x₁) Δ x₁+…+p(x_n) Δ x_n.                                (2)

Таким образом, массу стержня m можно приближенно вычислять по формуле (2).