double arrow

Физические модели при введении понятия интеграла


 

Рассмотрим выше описанные подходы на наиболее распространенных среди авторов учебников примерах физических моделей из разных разделов физики (механика, электродинамика, кинематика и др.).

Интеграл как предел интегральных сумм.

Работа переменной силы.

Довольно распространенный пример практической задачи, решение которой сводится к вычислению определенного интеграла, это задача о работе переменной силы. [2], [8]

Задача. Предположим, что на точку, движущуюся по оси х, действует некоторая сила F, направленная по той же оси. Мы знаем, что если сила F  постоянна, то работа равна Fs, где s – путь, пройденный точкой. Предположим теперь, что F меняется от точки к точке и нам известно её значение F(х) в каждой точке х некоторого промежутка [a; b]. Как найти работу А по перемещению точки из а в b?

Разобьем отрезок [a; b] на n отрезков. Будем приближенно считать, что на каждом отрезке сила постоянна. В качестве постоянной силы на отрезке [xk-1; xk] можно взять значение функции F в одной из точек этого отрезка, например в точке xk. Работу на k – отрезке пути приближенно можно представить как произведение F(xk)Δxk, а на всем отрезке – суммой:




      An=F(x1) Δx1+…+F(xn) Δxn.                               (1)

Таким образом, работу А по перемещению точки из а в b можно приближенно вычислять по формуле (1).

Сумму (1) называют интегральной суммой функции F(x) на отрезке [a; b]. При этом предполагается, что функция F(x) непрерывна на отрезке [a; b] и может принимать любые значения. Если  и длины отрезков разбиения стремятся к нулю, то интегральная сумма An стремится к некоторому числу, которое и называют интегралом от функции F(x) на отрезке [a; b] и обозначают .

 2. Задача о вычислении массы стержня.

Довольно популярна среди авторов учебников задача о вычислении массы стержня. [8], [10]

Задача. Дан прямолинейный неоднородный стержень, плотность которого в точке x вычисляется по формуле p=p(x). Найти массу стержня.

Рассмотрим массу стержня на отрезке [a; b]. Разобьём отрезок на n равных частей. Будем приближенно считать, что на каждом отрезке плотность постоянна. В качестве постоянной плотности на отрезке [xk-1; xk] можно взять значение функции р в одной из точек этого отрезка, например в точке xk. Массу на k – отрезке приближенно можно представить как произведение р(xk)Δxk, а на всем отрезке – суммой:

      mn=p(x1) Δx1+…+p(xn) Δxn.                                (2)

Таким образом, массу стержня m можно приближенно вычислять по формуле (2).







Сейчас читают про: