Свойства пределов функций

Лекция 3.

Числовые функции.

Понятие функции.

Определение. Пусть и заданные множества. Функцией называется множество пар чисел таких, что , и каждое входит в одну и только одну пару этого множества.

При этом

	зависимая переменная функции,
	независимая переменная функции или аргумент,
	область определения или существования функции,
	множество значений функции.

Таким образом, если задана функция, то числу сопоставлено число :

или .

График функции.

Четность и нечетность функции.

и	Четная функция
и	Нечетная функция

Периодичность функции (периода )

И .

Монотонные функции.

	строго возрастает (возрастает) на множестве
	возрастает (не убывает) на множестве
	строго убывает (убывает) на множестве
	убывает (не возрастает) на множестве

Ограниченные функции.

ограничена на отрезке

Предел функции.

Число называется пределом функции в точке

Определение 1. .

Определение 2. .

· Первое и второе определения предела функции эквивалентны.

· Функция может иметь в точке только один предел.

Число называется правым пределом функции в точке

Число называется левым пределом функции в точке

Если в точке правый и левый пределы равны, то в точке существует предел этой функции, равный односторонним пределам. Верно и обратное: если в точке предел функции существует, то в этой точке существует также правый и левый пределы функции, равные пределу функции в точке .

Число называется пределом функции при

Свойства пределов функций.

Определение предела функции, данное «на языке последовательностей» (Определение 1.) позволяет установить соответствие между свойствами пределов последовательностей и свойствами пределов функций.

I. Если функции и имеют в точке пределы и , то