Точка называется точкой разрыва функции , если в точке не является непрерывной.
Точка называется точкой разрыва го рода, если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу правый и левый пределы.
Точка называется точкой разрыва го рода, если в этой точке функция не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов или если хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.
Кусочно-непрерывные функции.
Функция называется кусочно-непрерывной на отрезке если она непрерывна во всех внутренних точках за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых имеет разрыв го рода и, кроме того, имеет односторонние пределы в точках и .
Функция называется кусочно-непрерывной на интервале или бесконечной прямой, если она кусочно-непрерывна на любом принадлежащем им отрезке.
Свойства непрерывных функций.
1. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции.
· Пусть функция определена в некоторой точке и . Тогда существует такое, что для всех функция имеет тот же знак, что .
|
|
2. Теорема о прохождении непрерывной функции через нулевое значение при смене знаков.
· Пусть функция непрерывна на отрезке и на концах имеет значения разных знаков. Тогда существует точка , в которой .
3. Теорема о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение.
· Пусть функция непрерывна на отрезке и число лежит между и . Тогда существует точка такая, что .
· Если функция определена и непрерывна на некотором промежутке , то множество ее значений тоже представляет некоторый промежуток.
4. Теорема об ограниченности непрерывной функции на отрезке.
· Если функция определена и непрерывна на отрезке то она ограничена на этом отрезке.