Понятие сложной функции

Определение. Если на некотором промежутке определена функция с множеством значений , а на множестве  определена функция , то  называется сложной функцией от , а переменная промежуточной переменной сложной функции.

· Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда сложная функция непрерывна в точке .

Монотонные функции.

Функция называется возрастающей на множестве , если
Функция называется неубывающей на множестве , если
Функция называется убывающей на множестве , если
Функция называется невозрастающей на множестве , если

Понятие обратной функции.

Определение. Пусть и заданные множества. Функцией называется множество пар чисел таких, что , и каждое  входит в одну и только одну пару этого множества. Если в каждой паре этого множества числа  и поменять местами, то получим множество пар чисел , которое называется обратной функцией  к функции  (обоз­начение: .

Обратная функция, вообще говоря, не является функцией, так как каждое число  может входить не только в одну, но и в несколько пар.

Определение. Если обратная функция  однозначна и функция  является обратной для функ­ции . То такие функции называют взаимно – обратными.

· Пусть функция определена, строго монотонна и непрерывна на промежутке . Тогда на соответствующем промежутке  обратная функция  однозначна, строго мо­но­тон­на и непрерывна.