Правила дифференцирования суммы

Лекция 4.

Понятие производной.

Пусть на некотором промежутке  определена функция . Для  определим приращение аргумента так, что . Приращению соответствует прираще­ние функции .

Определение. Производной функции в точке называется предел при  отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента (при условии, что этот предел существует)

.

 

В точке  существует бесконечная производная функции .

Геометрический смысл производной.

Производная функции  в точке  равна угловому коэффициенту касательной к графику функции  в точке .

Точка экстремума графика производной функции соответствует точке перегиба исходной функции.

 

Правая и левая производные.

Правой (левой) производной функции  в точке  называется правый (левый) предел отношения  при (если этот предел существует)

 

·		, и
· ,

Понятие дифференцируемости функции в данной точке.

Определение. Функция  называется дифференцируемой в точке , если ее приращение  в этой точке можно представить в виде  где некоторое число, не зависящее от , а б.м. функция при , причем .

 

дифференцируема в точке		имеет в точке  конечную производную
дифференцируема в точке		непрерывна в точке

 

Если функция  имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, то  имеет производную на указанном промежутке.

Понятие дифференциала.

Определение. Дифференциалом функции  в точке  называется главная, линейная относительно , часть приращения функции: .

Если , то  не будет главной частью приращения , в этом случае, по оп­ре­деле­нию, . 

Функция имеет в точке конечную производную

или

Пусть  каса­тель­ная к графику функ­ции  в точке . Дифференциал  функции  в точке , соответствует при­ра­ще­­нию фун­кции  и равен приращению ор­ди­наты касательной  к графику функ­ции , т.е. равен отрезку

Приближенные вычисления с помощью дифференциала.

Если , то . При этом абсолютная погрешность равна  и является б.м. более высокого порядка, чем , то есть

Правила дифференцирования суммы,