Линейные операции над векторами

Основные определения.

Если величина полностью характеризуется только численным значением, то она называется скалярной. Например, масса, температура, работа. Если же величина характеризуется двумя параметрами: численным значением и направлением, то такая величина называется векторной. Например: сила, скорость, ускорение. Векторную величину будем называть вектором. Геометрически вектор – это направленный отрезок прямой. У вектора есть начало – точка А и конец – точка В. Обозначение:  или . Начало вектора называется точкой приложения. Векторы, не зависящие от точки приложения, называются свободными. Численное значение вектора – это его длина, т.е. расстояние между точками начала и конца. Длина вектора (модуль) обозначается  или . Свободные векторы равны, если они совпадают по длине и направлению. Именно такие векторы мы будем изучать.

Определение 1. Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым.

Другими словами, у нулевого вектора начало и конец совпадают.

Обозначение . Нулевой вектор не имеет направления. Все нулевые векторы равны между собой.

Определение 2. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Обозначение ‌‌‌‌ .

Если угол между коллинеарными векторами равен нулю, то говорят, что векторы сонаправлены. Обозначение .

Если угол между коллинеарными векторами равен π, то говорят, что векторы противоположно направлены. Обозначение .

Определение 3. Вектор  называется противоположным вектору , если  и они противоположно направлены.

Основное свойство: .

Определение 4. Ортом вектора  называется вектор  единичной длины, сонаправленный вектору .

Основное свойство (и способ вычисления) .

Определение 5.  Три вектора называются компланарными, если они лежат в параллельных плоскостях или в одной плоскости.

Линейные операции над векторами.

1. Сложение векторов.

Геометрически векторы можно сложить

1) по правилу треугольника:

от конца первого вектора отложить второй, тогда вектор, идущий из начала первого вектора к концу второго и будет их суммой.

2) по правилу параллелограмма:

отложить оба вектора из одной точки, достроить параллелограмм, тогда диагональ параллелограмма, идущая из общей точки векторов и будет их суммой.

 

2. Умножение вектора на число.

При умножении вектора  на число λ получается вектор , коллинеарный вектору . 

Этот вектор длиннее вектора  и сонаправлен ему, если λ>1,

 

короче вектора  и сонаправлен ему, если 0 < λ <1,

 

короче вектора  и противоположно направлен, если -1 < λ <0,

 

длиннее вектора  и противоположно направлен, если  λ < −1.

Свойства линейных операций.

1°.  − выполняется коммутативный закон.

2°.  − выполняется ассоциативный закон.

3°.  − выполняется дистрибутивный закон относительно умножения на число.

4°. .

5°. .

Пример.

Задан тетраэдр ОАВС. Выразить через векторы  вектор , где F – точка пересечения медиан треугольника АВС.

Решение.

По правилу треугольника .

По свойству точки пересечения медиан треугольника , по правилу треугольника , ,

Подставляя полученные выражения в формулу для , получим

.

Ответ: .

Определение 6. Выражение вида  называется линейной комбинацией векторов .

Определение 7. Система векторов  называется линейно зависимой, если существует такой набор чисел , не равных нулю одновременно, что . В противном случае, система векторов  называется линейно независимой.

Понятие линейной зависимости является одним из основных в векторной алгебре.

Свойства линейной зависимости.

1°. Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.

2°. Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то она линейно зависима.

3°. Если один из векторов системы может быть выражен как линейная комбинация остальных, то эта система линейно зависима.

Пример.

Доказать, что при любых векторах , система векторов  линейно зависима.

Доказательство:

Воспользуемся третьим свойством линейной зависимости. Проверим, является ли первый вектор линейной комбинацией остальных:

Чтобы равенство выполнялось, необходимо, чтобы коэффициенты при одинаковых векторах справа и слева были равны:

 : ,

 : ,                 

 : .

Мы нашли два числа, не равных нулю одновременно таких, что первый вектор является линейной комбинацией остальных. Следовательно, эти три вектора линейно зависимы.

Теоремы линейной зависимости.

Теорема 1. Если два вектора коллинеарны, то они линейно зависимы. Верно и обратное.

Теорема 2. Если три вектора компланарны, то они линейно зависимы. Верно и обратное.