Проекция вектора на вектор

Определение 12. Проекцией вектора  на вектор  называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними

.

Если угол между векторами             Если угол между векторами

острый – то  > 0, т.к. косинус   тупой – то  < 0, т.к. косинус

острого угла – число положительное. Тупого угла – число отрицательное

 

Замечание.  В декартовом базисе проекции вектора  на базисные орты совпадают с его координатами. Т.е.,

Например, проекции на базисные орты вектора  − это .

Направляющие косинусы вектора.

Пусть в декартовой системе координат задан вектор . Обозначим α − угол между вектором и осью ,

β − угол между вектором и осью ,

γ − угол между вектором и осью .

возведем в квадрат и просуммируем

Тогда, учитывая, что длина базисных ортов равна единице, получим

 Но , следовательно, справедлива следующая теорема.

  Теорема 3. (Теорема о направляющих косинусах)
Сумма квадратов направляющих косинусов вектора равна единице.

(без доказательства)

Пример.

Может ли вектор образовывать с осями координат углы ?

Решение.

Проверим утверждение теоремы 3:

 утверждение теоремы 3 не выполняется.

Ответ: нет.