Прямая линия на плоскости

1 2 3 4

Векторная алгебра и анализ

2.2. Векторная алгебра, аналитическая геометрия

Авторы: А.Б. Соболев, А.Ф. Рыбалко, Н.М. Рыбалко, Л.П. Мохрачева, Л.Ю.Трояновская, И.Н. Кассандров

ЛЕКЦИЯ 9. Кривые второго порядка

Содержание

1. Прямая линия на плоскости.

2. Кривые второго порядка

3. Преобразования координат

4. Линии в полярной системе координат

Прямая линия на плоскости

Прямую можно определить как линию, вдоль которой расстояние между двумя точками является кратчайшим.

Уравнения прямой на плоскости получаются из уравнений прямой в пространстве, если из них исключить координату z (при z= 0).

Ax+By+C =0 − общее уравнение прямой на плоскости .
Здесь А, В – координаты вектора, перпендикулярного прямой.

Если А= 0(В= 0), то прямая параллельна оси ox (оси oy). Если С= 0, то прямая проходит через начало координат.

.− уравнение прямой, проходящей через точку (x ₀ ,y ₀) перпендикулярно вектору .

− каноническое уравнение прямой, проходящей через точку (x ₀ ,y ₀) параллельно направляющему вектору .

− параметрические уравнения прямой, проходящей через точку (x ₀ ,y ₀) параллельно направляющему вектору . Здесь t − параметр, .

Пусть на плоскости заданы две точки M ₁(x ₁ ,y ₁), M ₂(x ₂ ,y ₂). Уравнение прямой, проходящей через эти точки, можно записать как условие коллинеарности векторов , где M (x,y) – произвольная точка прямой. Получаем искомое уравнение в виде

− уравнение прямой, проходящей через две точки.

Пусть прямая составляет угол с осью ох. Угловым коэффициентом прямой k называется число .

Прямая может быть задана точкой М ₁(x ₁ ,y ₁) и угловым коэффициентом k или двумя точками М ₁(x ₁ ,y ₁) и М ₂(x₂,y ₂).

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k может быть получено из общего уравнения прямой Ax+By+C=0, если :

, где и .

Прямая пересекает ось OY в точке P (0 ,b).

Из уравнения прямой, проходящей через две точки, имеем

, ,

Общее уравнение прямой Ax+By+C= 0 может быть преобразовано к виду: − уравнение прямой “в отрезках”.

Прямая в отрезках пересекает ось ox в точке А (а, 0) и ось oy в точке В (0 ,b).

Если известно расстояние от прямой до начала координат и угол a между перпендикуляром к прямой и осью OX, то из нормального уравнения плоскости в пространстве, полагая z= 0 и учитывая, что

, получим

.− нормальное уравнение прямой на плоскости

Нормальное уравнение прямой можно получить из общего уравнения прямой Ax+By+C=0, умножив его на нормирующий множитель . Знак числа m должен быть противоположен знаку числа С.

Косинусы углов, образуемых прямой с осями координат, называются направляющими косинусами прямой.

Если угол между прямой и осью ox равен a и угол между прямой и осью oy равен b, то .

Расстояние от точки до прямой

Расстояние d от точки M ₀(x ₀ ,y ₀) до прямой, задаваемой нормальным уравнением, равно модулю отклонения точки от прямой , d = | |: .

По этой формуле положительно, если точка М ₀ и начало координат лежат по разные стороны от прямой, в противном случае отрицательно.

Координаты точки пересечения двух прямых

Если прямые заданы уравнениями A ₁ x+B ₁ y+C ₁ = 0и A ₂ x+B ₂ y+C ₂ = 0, то координаты точки их пересечения (x ₀, y ₀)получаются как решение системы уравнений