Преобразования координат

Теорема. Если в декартовой системе координат задано уравнение ,               (*)
то существует такая декартовая система координат, в которой это уравнение приобретает один из следующих канонических видов:

1.  − эллипс,

2.  − мнимый эллипс,

3.  − пара мнимых пересекающихся прямых,

4.  − гипербола

5.  − сопряженная гипербола,

6.  − пара пересекающихся прямых,

7.  − парабола,

8.  − пара параллельных прямых (или совпавших при а =0),

9.  − пара мнимых параллельных прямых.

К каноническому виду уравнение (*) можно привести различными способами.

Параллельный перенос.

Если в уравнении (*) коэффициент 2В= 0, то  к каноническому виду уравнение приводится параллельным переносом осей координат по формулам:

    (1)       (2)

Уравнения кривых второго порядка, когда их центры симметрии находятся в точке с координатами O ₁(x ₀ ,y ₀), получаются с помощью преобразования координат при параллельном переносе осей (2):

 

1.  - уравнение окружности с центром в точке O ₁(x ₀ ,y ₀) и радиусом R;

2.  - уравнения эллипса и гиперболы с центром симметрии в точке O ₁(x ₀ ,y ₀);

3.  - уравнение параболы с вершиной в точке O ₁(x ₀ ,y ₀).

Поворот координатных осей

Если в уравнении (*) коэффициент , то  к каноническому виду уравнение приводится поворотом осей координат по формулам:

                                    (3)

Эти формулы выражают старые координаты (x,y) произвольной точки М через новые координаты (x¢,y¢) этой же точки при повороте осей на угол a.

Угол α может быть найден по формуле:

.                                         (4)

Если А=С то угол α принимают равным π/4.

Пример. Приведите уравнение  к каноническому виду и постройте кривую.

Выделим полный квадрат: сгруппируем члены этого уравнения, содержащие одноименные координаты:
, .

Дополним члены в скобках до полных квадратов:
, .

Введем новые координаты: , , , ,

то есть точка  – центр кривой.

Уравнение в новой системе координат принимает вид:

, определяет эллипс с полуосями ,   который в исходной системе координат имеет центр в точке .

Пример. Определите вид кривой

Определим угол поворота осей по формуле (4):

Подвергнем уравнение кривой преобразованию:

и получим уравнение эллипса

.

,                        .

с полуосями , .