Основные гипотезы и допущения

Теория пластического течения твердых тел

(курс лекций)

 

Лекция 1

Основные гипотезы и допущения. Силы и напряжения. Напряженное состояние точки. Напряжения на координатных площадках.

Основные гипотезы и допущения

Математическая теория обработки металлов давлением основывается на положениях теории упругости и теории пластичности. Обе дисциплины являются составными частями механики сплошных сред - науки, изучающей внутреннее движение в газах, жидкостях и твердых телах под действием различных внешних факторов. При этом предполагается, что вещество непрерывно заполняет пространство (сплошная среда, неделимая на молекулы, атомы и т.д., то есть не учитывается реальное строение металлов). Ниже рассматривается теория течения частиц в твердых телах - теория пластического течения твердых тел.

Совместно с теорией упругости и теорией ползучести теория пластичности входит в комплекс наук, изучающих законы образования и развития деформации (изменения размеров) твердых тел под действием внешних воздействий - силовых, температурных, электромагнитных и других. Теория упругости изучает обратимые (упругие, которые исчезают после прекращения действия внешнего воздействия) деформации. В теории пластичности рассматриваются необратимые (пластические) деформации, сохраняются после снятия внешнего воздействия, и возникающие при этом напряжения. Методы определения напряжений и деформаций и способы их расчета приведены ниже. Теория ползучести изучает процессы, протекающие в течение длительного времени (часов, дней, лет), изменение деформации при постоянной нагрузке (упругая последействие) и изменение напряжений при постоянной деформации (релаксацию). В данной работе явления ползучести не рассматриваются.

Упругая деформация всегда предшествует пластической. Многие положения теории пластичности выводятся из закономерностей теории упругости. Поэтому изучение теории пластичности необходимо начинать с основ теории упругости. Фундаментальное положение, на котором основываются обе дисциплины - экспериментально установлена зависимость между напряжениями и деформациями (розглянуті в гл. 2 диаграммы растяжения). Начальный участок диаграммы (рис. 1а), как установил Р. Гук, представляет собой зависимость, близкую к линейной, которую он описал уравнением прямой линии

                                     σ = Еε,                                                    (1)

де σ - напряжение, ε – относительная деформация, Е – модуль упругости, Е = tg φ. Уравнения (1) называют законом Гука для линейного (одноосного) напряженного состояния.

Такая же качественная зависимость установлена и между касательными напряжениями τ и сдвиговыми деформациями (изменениями углов между волокнами) γ. Диаграмма связи касательных напряжений τ и сдвиговых деформаций γ показана на рис.1б. Начальный участок кривой описывается также линейной зависимостью

                                     τ = Gγ,                                                               (2)

где G – модуль упругости второго рода, G = tg φ^'.

        

                           А                                        б

Рис.1. Связь между нормальными напряжениями σ и линейными

деформациями ε (а) и между касательными напряжениями τ

и сдвиговыми деформациями γ (б)

 

Такой подход, при котором физический закон установлен не теоретически, а экспериментально, называют феноменологическим.

При более высоких напряжениях связь между напряжениями и деформациями становится нелинейной, но после снятия нагрузки размеры тела возвращаются к исходным значениям, то есть деформация остается упругой. При определенном значении напряжения деформация становится необратимой - размеры тела не возвращаются к исходным значениям после снятия нагрузки. Напряжение, при котором начинается необратимая (пластическая) деформация, называется пределом текучести. Эта величина определяется экспериментально для каждого металла и сплава и является одной из фундаментальных величин в теории пластичности и теории обработки металлов давлением.

Для осуществления начала пластической деформации необходимо, чтобы напряжения при одноосном нагружении достигали предела текучести. Поскольку кристаллиты, из которых состоит металл, не одновременно вступают в пластическую деформацию, значение напряжения начала пластического течения определяют, когда необратимая деформация составляет некоторую величину, обычно 0,2%. При этом большинство зерен вступает в состояние пластического течения. Найденный таким способом предел текучести обозначается σ_0,2 (или σ_s, если напряжение начала пластического течения определено до площадки текучести). С развитием деформации предел текучести меняется. Переменную величину одноосного (линейного) напряжения, необходимого для поддержания пластической деформации при различных значениях деформации, будем называть напряжением текучести и обозначать ее σ_т.

Касательное напряжение, которое вызывает пластическую деформацию (сопротивление пластического сдвига), будем обозначать k. При пластической деформации отсутствует прямая пропорциональность между напряжениями и деформациями.

Теория упругости и теория пластичности основываются на ряде гипотез (допущений). Наиболее важные перечислены ниже.

- Гипотеза о сплошности тела. Предполагается, что тело непрерывно заполняет пространство, оно до и после деформации не имеет пор, пустот, микротрещин.

Такие связанные между собой множества точек или частиц называют континиумом (сплошной средой).

Из этой гипотезы следует, что объем до и после деформации не меняется (закон постоянства объема). Объем тела под внешним воздействием упруго меняется (кроме некоторых особых случаев).

- Гипотеза о естественном ненагруженном состоянии тела. При рассмотрении внешних нагрузок на тело, предполагается, что начальные напряжения в теле отсутствуют.

- Гипотеза о шаровой изотропии. Принимается, что механические свойства тела одинаковые по всем направлениям (если не обусловлена анизотропия - разница свойств по различным направлениям).

- Гипотеза локальности эффекта самоуравновешенных нагрузок (принцип Сен-Венана). Принимается, что самоуравновешенная система сил, приложенная к любой части тела, вызывает в нем напряжения, которые быстро убывают при удалении от этой части. Отсюда следует, что на некотором удалении от места приложения нагрузок напряжения отсутствуют и обязательно меняются по объему нагруженной части.

- Принцип затвердевания. Условия равновесия деформируемого тела рассматривают так же, как и для идеально твердого тела. Однако для деформируемых тел в равновесии должны знаходитися НЕ только сами тела, но и ВСЕ их материальные частицы. В этом случае обеспечивается и равновесие тела в целом.

В теории пластичности совокупность материальных точек, лежащих вдоль некоторой линии, называют волокном, а бесконечно малый элемент волокна - линейным элементом. Непрерывную совокупность точек, лежащих на некоторой поверхности, называют слоем, а бесконечно малый элемент слоя - элементарной площадкой (или просто площадкой). Как элементарную частицу рассматривают не безразмерную точку, как в геометрии, а элементарный объем (или просто объем) - объем, ограниченный элементарными площадками. Поскольку элементарный объем имеет бесконечно малые размеры, то напряжения и деформации на площадках (гранях) элементарного объема постоянные. По объему всего тела в соответствии с принципом Сен-Венана напряжения переменные.

 

    Силы и напряжения.

Сила - мера механического взаимодействия тел. Под действием сил тело или частицы внутри него получают ускорение и скорости сдвига. Именно силы рассматриваются как основная причина деформации в теории пластичности. Различают поверхностные силы, действующие на контакте с деформирующим инструментом, и массовые - силы инерции, гравитации, магнитного поля, действующие на каждый элементарный объем. В теории пластичности в основном рассматривают действие поверхностных сил, приложенных со стороны инструмента, массовыми силами пренебрегают ввиду их малости. При достаточно высоких скоростях движения тел необходимо учитывать силы инерции.

Силы, обусловливающие ход процесса деформации, называют активными, а силы, которые препятствуют действию активных сил - реактивными. Они вызываются реакциями связей и возникают только в ответ на внешнее воздействие (силы трения, реакция отталкивания со стороны боковых стенок инструмента). В подавляющем большинстве процессов обработки давлением металл должен смещаться по поверхности инструмента. При этом возникают реактивные силы трения, препятствующие скольжению. Силы трения играют большую роль в процессах деформации, обуславливая возникновение напряжений вдоль поверхностей контакта и соответственно по объему тела.

Под действием внешних сил в теле возникают внутренние сопротивления, которые их уравновешивают. Величина сопротивлений, приходящихся на единицу площади произвольно ориентированной площадки, называется напряжением. Если нагрузка (сила Р) равномерно распределена по поверхности площадью F, полное напряжение на ней S определяется как

                               S = P/F.                                                    (3)

Если нагрузка распределена неравномерно, напряжение представляет собой предел отношения внутренней силы ΔР, действующей на элементарную площадку, к ее площади ΔF, при неограниченном уменьшении этой площади:

                       S = lim (ΔP / ΔF) _{при ΔF → 0}.

а напряжение S на площадке можно разложить или на три компоненты, направленные вдоль осей произвольно выбранной системы координат, или относительно площадки. Одна компонента полного напряжения, направленная перпендикулярно (нормально) к площадке σ, называется нормальным напряжением, а вторая, которая лежит в плоскости площадки τ (относительно площадки) - касательным напряжением. Геометрическая сумма нормального и касательного напряжений дает полное напряжение

                                 σ² + τ² = S².                                                                (4)         

Нормальные напряжения, вызывающие увеличение размеров тела, называют растягивающими. Их считают положительными и присваивают знак плюс. Нормальные напряжения, вызывающие уменьшение размеров тела, называют сжимающими. Им присваивают знак минус. Касательные напряжения, направленные вдоль положительного направления координатных осей, совпадает с направлением растягивающих напряжений, считают положительными, а противоположно направленные - отрицательными. Знак касательных напряжений физического смысла не имеет, так как они всегда действуют попарно в противоположных направлениях, но должен учитываться при составлении уравнений равновесия.

Размерность силы - Н (Ньютон, 1Н = 0,1 кг), размерность напряжений - Па (Паскаль, 1Па = Н / м2; учитывая малость этой величины чаще используют величину мегапаскали, 1 МПа = 106П = 0,1кг / мм2).