Правила интегрирования. Замена переменной в неопределенном интеграле

Первообразная. Неопределенный интеграл. Таблица интегралов.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ.

Первообразная

Определение 1. Функцию F (x), определенную на интервале a, b), называют первообразной функции f (x), определенной на интервале (a, b), если для каждого выполнено равенство F' (x) = f (x).

Например, из справедливости равенства (sin2 x)' = 2cos2 x вытекает, что функция F (x) = sin2 x является первообразной функции f (x) = 2cos2 x.

Замечание. Функция F (x) = sin2 x не является единственной первообразной функции f (x) = 2cos2 x, поскольку функция F (x) = sin2 x +10, или функция F (x) = sin2 x – 3, или функции вида F (x) = sin2 x + c, где c – любое число, также являются первообразными функции f (x) = 2cos2 x.

Справедлива следующая теорема, доказательство которой выходит за рамки школьного курса математики.

Теорема 1. Если функция F (x) является первообразной функции f (x) на интервале (a, b), то любая другая первообразная функции f (x) на интервале (a, b) имеет вид F (x) + с, где c – некоторое число.

Неопределенный интеграл

Определение 2. Множество всех первообразных функции f (x) называют неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначают

(1)

Обозначение (1) читается так: «Неопределенный интеграл от функции f (x) по dx».

Если F (x) является первообразной f (x), то в силу теоремы 1 смысл формулы (1) заключается в следующем:

(2)

Однако для упрощения формулу (2) принято записывать в виде

(3)

подразумевая, но не указывая специально, что c – любое число.

В формуле (3) функцию f (x) называют подынтегральной функцией, выражение f (x) dx нызывают подынтегральным выражением, а число c называют постоянной интегрирования.

Операцию вычисления (взятия) интеграла по известной подынтегральной функции называют интегрированием функции.

Правила интегрирования. Замена переменной в неопределенном интеграле

Вычисление интегралов (интегрирование) основано на применении следующих правил, которые непосредственно вытекают из правил вычисления производных.

Правило 1 (интеграл от произведения числа на функцию). Справедливо равенство

где k – любое число.

Другими словами, интеграл от произведения числа на функцию равен произведению этого числа на интеграл от функции.

Правило 2 (интеграл от суммы функций). Интеграл от суммы функций вычисляется по формуле

то есть интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций.

Правило 3 (интеграл от разности функций). Интеграл от разности функций вычисляется по формуле

то есть интеграл от разности функций равен разности интегралов от этих функций.

Правило 4 (интегрирование при помощи замены переменной). Из справедливости формулы

вытекает, что

(4)

если все входящие в формулу (4) функции f (φ (x)), φ' (x), F (φ (x)) определены.

Доказательство правила 4. Воспользовавшись формулой для производной сложной функции, вычислим производную от правой части формулы (4):

Мы получили подынтегральную функцию из левой части формулы (4), что и требовалось.

Замечание. Рассмотрим частный случай формулы (4), когда функция φ (x) является линейной функцией, то есть

φ (x) = kx + b,

что k и b – произвольные числа, .

В этом случае

φ' (x) = k,

и формула (4) принимает вид

(5)

Формула (5) часто используется при решении задач.

Таблица интегралов

Следующая таблица неопределенных интегралов составлена на основе таблицы производных часто встречающихся функций, а также на основе таблицы производных сложных функций

Основная формула	Обобщения
	, где k – любое число
где n – любое число, не равное – 1	, где n, k, b – любые числа, ,
	где n – любое число,
, x > 0	, где k, b – любые числа, , kx + b > 0
	где φ (x) > 0
	, где k, b – любые числа,
где a – любое положительное число, не равное 1	, где a – любое положительное число, не равное 1, k, b – любые числа,
	, где a – любое положительное число, не равное 1
	, где k, b – любые числа,
	, где k, b – любые числа,
	, где k, b – любые числа, ,
	,
	, где k, b – любые числа, ,
	,
| x | < 1	где k, b – любые числа, , | kx + b | < 1
	| φ (x) | < 1
	где a, b – любые числа,
	, где k, b – любые числа,
	где a, b – любые числа,