Антипараллельные силы

СИСТЕМА ПАР СИЛ

Параллельные силы

Параллельные силы направлены в одну сторону

Рассмотрим твердое тело, на которое действуют две параллельные силы  и , приложенные в точках  и  тела. Требуется определить модуль и точку приложения равнодействующей R этих двух сил.

 

Рис. 4.1

R=F₁+F₂

.

Теорема: равнодействующая двух действующих на абсолютно твердое тело параллельных сил, направленных в одну сторону, равна по модулю сумме модулей слагаемых сил, им параллельна и направлена в ту же сторону. Линия действия равнодействующей проходит между точками приложения слагаемых сил на расстояниях от этих точек, обратно пропорциональных силам. (без доказательства)

Антипараллельные силы

Теорема: равнодействующая двух антипараллельных сил параллельна этим силам и направлена в сторону большей из них. Модуль равнодействующей равен разности модулей данных сил, а линия действия равнодействующей делит расстояния между точками приложения данных сил внешним образом на части, обратнопропорциональные этим силам.

, , .

Линия действия равнодействующей  проходит через точку, лежащую вне отрезка  и притом ближе к большей силе (рис. 4.2, б).

 

 

 

Рассмотрим частный случай, когда две антипараллельные силы равны по модулю (рис. 4.3, а). Такая система называется парой сил. Ранее получили , .

В данном случае , , , т.е. равнодействующая обращается в ноль, а точка ее приложения удаляется в бесконечность. Этот результат указывает на то, что в действительности пару сил невозможно заменить одной силой, ей эквивалентной, т.е. пара не имеет равнодействующей, и под действием пары сил тело может совершать только вращательное движение.

 

 

На практике пару сил мы применяем постоянно: поворачивая вентиль крана,   чтобы   потекла   вода,   вращая   рулевое  колесо  автомобиля  и  т.д. (рис. 4.3, б). Так как под действием пары сил тело может совершать только вращательное движение, то действие пары характеризуется ее моментом. Алгебраическим моментом пары называется взятое со знаком плюс или минус произведение одной из сил пары на плечо пары (рис. 4.3, а):

,

здесь  – плечо пары , т.е. кратчайшее расстояние между линиями действия сил  и . Знак у момента пары определяется по тому же правилу, что и у момента силы относительно точки. 

Теорема о сумме алгебраических моментов сил пары. Алгебраическая сумма моментов сил пары относительно любого центра, лежащего в плоскости действия пары, не зависит от выбора этого центра и равна моменту пары. 

 

Доказательство: рассмотрим пару сил  (рис. 4.4, а), лежащую в плоскости листа, и покажем, что сумма моментов, которую создают эти силы относительно любого центра, лежащего в плоскости листа, есть величина постоянная и равная моменту данной пары. Сначала определим момент данной

пары ,    а   затем  выбираем   произвольный   центр   (рис. 4.4, б) и определяем относительно него моменты сил  и : , .

    Тогда , так как .

Эквивалентность пар

Теорема. Две пары, лежащие в одной плоскости и имеющие численно равные моменты и одинаковые направления вращения, эквивалентны.

Доказательство: даны две пары  и , лежащие в одной плоскости и имеющие численно равные моменты и одинаковые направления вращения  (рис. 4.5, а). Требуется доказать, что эти пары эквивалентны.

 

Продлеваем линии действия этих сил и получаем линию пересечения  плоскостей пар  и  (рис. 4.5, б). Переносим силы  и  вдоль линий их действия в точки  и  соответственно и раскладываем силы на составляющие:  на  и , а  на  и  (рис. 4.5, в). Причем ,  и линии действия сил  и направлены вдоль  и  соответственно, а силы  и  равные, прямопротивоположные и направлены вдоль . На основании аксиомы 2, не изменяя состояния тела, силы  и  можно отбросить, и в результате мы получаем пару сил с плечом  (рис. 4.5, г).

Покажем, что момент полученной пары  будет численно равен моменту первоначальной пары . Для этого воспользуемся теоремой Вариньона, которая в данном случае будет иметь вид (рис. 4.5, в)

,

причем , так как линия действия силы  пересекает точку .      Следовательно,  или .

Тогда учитывая, что , получаем . Учитывая, что у пар  и  одинаковые плечи и алгебраические моменты, получаем, что силы этих пар равны как по модулю, так и по направлению, т.е. данные пары эквивалентны.

Из доказанной теоремы получаем следствия.

Следствие 1. Данную пару, не изменяя ее действия на тело, можно как угодно переносить в плоскости ее действия. Следовательно, действие пары на тело не зависит от ее положения в своей плоскости.

Следствие 2. Не изменяя действия данной пары на тело, можно менять модули сил и плечо данной пары, но при условии, что ее момент и направление вращения остаются неизменными.

Следствие 3. Две данные пары всегда можно привести к одному плечу.