Проекции силы, операции с силами

 

3.1. ПРОЕКЦИИ СИЛЫ

Проекцией вектора на ось называется скалярная величина,  равная произведению модуля вектора на косинус угла между направлением силы и положительным направлением оси.

То есть проекция  вектора  на ось равна

              .

Дадим этому определению геометрическое пояснение.

Пусть в трехмерном пространстве задана ось L, направление которой указано вектором единичной длины  (направляющим вектором), и вектор , начало которого находится в т. А, а конец, ─ в т. В (рис. 3.1).

Через точки А и В проведем перпендикулярно оси L две плоскости:  П₁ и П₂. Параллельно оси L через точку  А проведем направление n.

Численно величина проекции вектора на ось равна отрезку АС или отрезку А₁С₁, а знак проекции зависит от величины угла:

· при  проекция силы положительна,

· при  ─ отрицательна,

· при  ─ равна нулю.

 

Можно дать и другое определение проекции вектора на ось.

Проекцией вектора на ось называется скалярное произведение вектора на направляющий вектор оси.

Действительно, ,

где  ─ угол между направлением вектора и единичного вектора .     

 

Рис. 3.1

Рассмотрим некоторые частные случаи проецирования вектора на ось:

                                          Рис. 3.2

Проекцией вектора на плоскость называется вектор, заключенный между проекциями начала и конца вектора на эту плоскость.

Так на рис. 3.3 вектор  является проекцией вектора  на плокость Oxy.

Если вектор задан выражением    

,

то аналитическое выражение проекции этого вектора на плоскость Oxy можно получить, приравняв к нулю проекцию вектора на ось z:

.

Рис. 3.3

Модуль этого вектора равен:

             

Для определения проекции силы на ось удобно сначала спроецировать силу на плоскость, в которой эта ось лежит, а затем найденную проекцию спроецировать на ось.

             

             

Этот прием называют методом двойного проецирования.

Аналогично проецируется сила и на две другие плоскости.

Заметим, что

· Проекции вектора на параллельные оси равны.

· Проекции вектора на параллельные плоскости геометрически равны.

 

3.2. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ СИЛЫ

Рассмотрим силу , которая представлена вектором с началом в точке  и с концом в точке  (рис. 3.4).

Для указания точки приложения силы используем радиус-вектор

,

соединяющий начало системы координат и точку приложения силы.

Проекции вектора  на координатные оси равны координатам точки , в которой приложена сила .

Информация о величине и направлении силы  может быть представлена двумя способами.

Рис. 3.4

Первый способ

Представим вектор силы в виде произведения (рис. 3.4)

              ,

где  − модуль силы, а  − единичный вектор, указывающий направление силы (направляющий вектор):                        

,

где  − направляющие косинусы вектора (рис. 3.4):

.

Чтобы таким способом задать вектор, необходимо знать углы  и значение его модуля − .

Второй способ (аналитический)

Аналитическое выражение вектора силы дается следующим образом:

    .

где , ,  − проекции вектора  на координатные оси (рис. 3.4).

То есть, для аналитического задания вектора силы необходимо указать три его проекции: , , .