Отсюда следует, что проекции равнодействующей сходящейся системы сил определяются так же, как и проекции главного вектора::
. (4.2)
Модуль равнодействующей равен:
, (4.3)
а ее направляющие косинусы определяются по формулам:
(4.4)
4.2. УСЛОВИЯ УРАВНОВЕШЕННОСТИ СХОДЯЩЕЙСЯ СИСТЕМЫ СИЛ
Система сходящихся сил эквивалентна одной силе, которая по определению является равнодействующей:
.
В общем случае сходящаяся система не является уравновешенной.
Исключение составляет случай, когда равнодействующая, а следовательно и главный вектор этой системы сил равны нулю.
Равнодействующая сходящейся системы геометрически равна ее главному вектору который приложен в точке схода системы.
Отсюда следует
Вывод:
Для равновесия системы сходящихся сил, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
1. В векторной форме:
Главный вектор системы сил должен быть равен нулю,
|
|
(4.5)
2. В геометрической форме:
Силовой многоугольник должен быть замкнут.
3. В аналитической форме:
Сумма проекций сил на каждую из координатных осей должна быть равна нулю.
Для системы сходящихся сил в пространстве получаем три уравнения равновесия:
, (4.6)
где в формулах подразумевается суммирование по всем действующим силам, а для системы сходящихся сил, расположенных в одной плоскости (например, в плоскости ху), только два уравнения равновесия:
, (4.7)
поскольку третье уравнение будет выполняться автоматически.
4.3. ТЕОРЕМА О ТРЕХ СИЛАХ
При решении задач иногда удобно пользоваться следующей теоремой: ТЕОРЕМА
Для равновесия твердого тела, находящегося под действием трех непараллельных сил, необходимо, чтобы эти силы лежали в одной плоскости и линии их действия пересекались в одной точке.
Доказательство
· Пусть на тело действуют (рис. 4.4) три силы
· Перенесем силы в точку пересечения линий действия и заменим их равнодействующей, применяя аксиому параллелограмма:
Все три силы при этом будут лежать в одной плоскости.
· Тогда на тело будут действовать только две силы: .
Под действием двух сил по I-й аксиоме тело может находиться в равновесии только тогда, когда силы равны по величине, противоположно направлены и лежат на одной прямой. Это возможно только в том случае, когда три исходные силы лежат в одной плоскости и их линии действия пересекаются в одной точке.
|
|
Рис. 4.4
Примечание
Теорема о трех силах дает только необходимое условие равновесия, без которого равновесие в принципе невозможно. Достаточным условием является замкнутость силового треугольника.
Тема 5.
МОМЕНТЫ СИЛЫ
5.1. МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ТОЧКИ
Величина и направление силы характеризуют действие силы в том случае, если она придает какому-либо телу поступательное движение.
Вращательный эффект силы по отношению к некоторой точке или оси учитывает другая характеристика — момент силы.
Моментом силы относительно некоторой точки О называется величина , равная векторному произведению радиус-вектора, проведенного из данной точки в точку приложения силы, на саму эту силу:
. (5.1)
Рис. 5.1
Направление и модуль момента силы определяются по обычному правилу векторного произведения.
Направление момента силы
Вектор-момент силы перпендикулярен плоскости, проведенной через линию действия силы и точку О (рис. 5.1), и направлен так, чтобы, глядя навстречу ему, видеть силу, стремящейся повернуть эту плоскость против часовой стрелки (правило «правого винта»).
Модуль момента силы
Модуль векторного произведения:
или . (5.2)
Модуль момента силы относительно точки равен произведению модуля силы на ее плечо. Плечом силы называется кратчайшее (длина перпендикуляра) расстояние от точки до линии действия силы.
Единица измерения модуля момента силы [M] = Нм.
Из формулы (5.2) следует, что
1. момент силы относительно точки равен нулю только в том случае, когда ее плечо равно нулю, т. е. когда линия действия силы проходит через эту точку;
2. момент силы не зависит от того, где взята точка приложения силы на линии ее действия;
3. модуль момента силы равен удвоенной площади треугольника, для которого сила является основанием, а плечо высотой (рис. 5.1).
Аналитическое выражение момента силы относительно точки
Пусть задана сила
,
приложенная в точке , положение которой указано радиус-вектором
,
где − орты декартовых координатных осей,
− проекции радиус-вектора,
− проекции силы на координатные оси.
Запишем векторное произведение (5.1) с помощью определителя:
,
или (5.3)
Это есть аналитическое выражение момента силы относительно точки О.
5.2. МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ
Моментом силы относительно некоторой оси называется скалярная величина , равная проекции (рис. 5.2) на эту ось момента силы, вычисленного относительно какой-либо точки О этой оси:
(5.4)
Рис. 5.2
Покажем на рис. 5.2 произвольно расположенную силу и ее вектор-момент относительно некоторой точки О. Если поместить в точку О декартову систему координат Oxyz, и спроецировать вектор-момент на оси этой системы, то полученные проекции по определению будут являться моментами силы относительно координатных осей. Если аналитически представить вектор-момент силы через его проекции на оси
, (5.5)
то сравнивая (5.5) с (5.3), получим аналитические выражения для моментов силы относительно координатных осей, проходящих через центр О:
(5.6)
5.2. ВЫЧИСЛЕНИЕ МОМЕНТА СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ
Выберем точку О, принадлежащую некоторой оси z.
Спроецируем вектора и на плоскость П, которая перпендикулярна оси z. Проекции обозначим и . Проекции этих векторов на ось z равны нулю. С помощью приведенных выше формул (5.5) и (5.6) можно убедиться в том, что величина момента силы относительно центра О в точности равна моменту силы относительно оси z.
|
|
То есть
для того, чтобы вычислить момент силы относительно оси z, необходимо выполнить следующие действия:
1. Спроецировать силу на плоскость, перпендикулярную оси.
2. Найти модуль момента, для чего следует умножить модуль проекции на ее плечо .