Выберем прямоугольную декартову систему координат на плоскости. Всякое комплексное число
определяется парой действительных чисел и Поэтому, естественной геометрической интерпретацией комплексного числа является его изображение точкой плоскости с декартовыми координатами и (рис.1). Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называется комплексной плоскостью.
Множество всех действительных чисел изображается на оси абсцисс, которая называется действительной осью, а множество всех чисто мнимых чисел-на оси ординат (кроме начала координат), которая называется мнимой осью. Начало координат, которому соответствует число 0=(0,0),называют нулевой точкой.
Для геометрического представления комплексного числа кроме точки (x,y) используется также вектор, начало которого находится в точке O(0,0), а конец - в точке М(x,y). Здесь следует подчеркнуть, что отмеченное соответствие между множеством всех комплексных чисел и векторами на плоскости позволяет операции сложения и вычитания комплексных чисел и проводит по правилу сложения и вычитания векторов (рис.2).
|
|
Длина вектора, соответствующего комплексному числу , называется модулем этого числа и определяется формулой
(1)
Угол межу этим вектором и положительным направлением действительной оси Ox называется аргументом числа и обозначается через
Для числа , модуль которого равен нулю, понятие аргумента не имеет смысла, а при аргумент определяется с точностью до слагаемого кратного 2 .
Среди всех значений существует одно и только одно значение, лежащее в промежутке Оно называется главным значением аргумента и обозначается через
Таким образом,
(2)
где главное значение аргумента комплексного числа определяется формулами (рис.1):
при ,
при и (3)
при и
при
при
Таким образом, всякое конечное комплексное число полностью определяется модулем и аргументом этого числа.