2020-05-12
383
Первая форма записи: 
упорядоченная пара комплексных чисел(по определению).
Вторая форма записи - алгебраическая: 
.
Третья форма записи – тригонометрическая. Если первая и вторая формы записи комплексного числа дают представление комплексных чисел в декартовых координатах, то для получения тригонометрической формы записи введем полярную систему координат следующим образом:
полярную ось совместим с положительной полуосью Ox, а полюс - с началом декартовой системы координат. Тогда полярные координаты 
и 
точки 
определяют соответственно модуль и аргумент комплексного числа 
(1)
При этом действительная и мнимая части комплексного числа связаны с модулем и аргументом известными формулами
(2)
Поэтому, каждое комплексное число , 
можно записать в виде
(3)
который и называется тригонометрической формой записи комплексного числа 
Отметим, что, как это следует из формулы (3), два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на число, кратное 2 
Для получения четвертой формы записи комплексного числа мы воспользуемся формулой Эйлера
(4)
Тогда из формулы (3) получаем показательную форму записи комплексного числа
(5)
Итак, чтобы записать комплексное число в тригонометрической или в показательной форме, необходимо найти модуль (формула (1),главное значение аргумента (формула (3.3)), аргумент (формула (3.2)) этого числа и воспользоваться формулами (3) или (5).
Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа находят широкое применение, например, в электро- и радиотехнике, электродинамике.
При проведении конкретных расчетов с комплексными числами важную роль играют теоремы о модуле и аргументе произведения и частного двух комплексных чисел.
Вычислим произведение двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме: 
Отсюда следует, что при умножении двух комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются (это утверждение и называется теоремой о модуле и аргументе произведения комплексных чисел):
(6)
Далее мы воспользуемся тем, что по определению частного 
(7)
Применяя к формуле(7) теорему о модуле и аргументе произведения двух комплексных чисел, получаем
(8)
Формулы (8) выражают содержание теоремы о модуле и аргументе частного двух комплексных чисел: модуль частного двух комплексных чисел равен частному их модулей; аргумент частного двух комплексных чисел равен разности аргументов числителя и знаменателя (делимого и делителя).
В частности, деление комплексных чисел в показательной или тригонометрической форме выполняется по формуле
(9)
Замечание. Модуль разности двух комплексных чисел определяет расстояние между соответствующими точками на комплексной плоскости. На основе этого факта, и известных из планиметрии соотношений между сторонами треугольника, устанавливаются неравенства треугольника
(10)
5. Возведение комплексного числа в натуральную степень и излечение корня.
Сначала рассмотрим операцию возведения комплексного числа в натуральную степень.
Теорема о модуле и аргументе произведения обобщается и на случай произведения конечного числа комплексных сомножителей. Поэтому, полагая все 
сомножители равными комплексному числу , получаем:
(1)
Таким образом, при возведении комплексного числа в натуральную степень модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на эту степень.
При 
из (1) следует формула Муавра
(2)
Приступая к рассмотрению операции извлечению корня, сначала приведем соответствующее определение.
Определение: Комплексное число 
называется корнем натуральной степени 
из комплексного числа 
если 
Итак, решения уравнения 
называются корнями степени 
из числа 
и обозначаются символом 
Из этого определения с учетом формулы возведения комплексного числа 
в натуральную степень 
находим
, (3)
Таким образом,
(4)
Как было отмечено выше, аргумент комплексного числа определен не однозначно, а с точностью до слагаемого, кратного 
Поэтому, полагая 
получаем, что существует ровно 
различных значений корня 
й степени из комплексного числа 
которые определяются формулой
(5)
где через 
обозначено арифметическое значение корня й из действительного числа 
Модули этих комплексных чисел одинаковы, а аргументы различаются на число, кратное 
Заметим также, что начиная с номера 
новые значения корня в формуле (5) не возникают. Точки на комплексной плоскости, соответствующие различным значением корня степени 
из комплексного числа 
, расположены в вершинах правильного 
угольника, вписанного в окружность радиуса 
с центром в точке 
Следует отдельно отметить, что квадратный корень из комплексного числа 
имеет два различных значения, которые отличаются общим знаком и на комплексной плоскости располагаются симметрично относительно нулевой точки
