Алгебраические операции над комплексными числами

Модуль 4.

Алгебра и геометрия

Лекция 1. Комплексное число и действия над комплексными числами.

Определение комплексного числа.

Определение 1. Комплексным числом  называется упорядоченная пара   действительных чисел   и  

Это определение   условно записывается так:                                                        (1)

Числа  и   называются соответственно действительной и мнимой частью комплексного числа   и обозначаются символами

                                                                                                                  (2)

Комплексное число  отождествляется с действительным числом x: z=(x,0)=x

Таким образом, множество всех действительных чисел является частью множества всех комплексных чисел.

Если  а   то число  называется чисто мнимым числом.

 Число  называется нулем:  

 В операциях с комплексными числами важную роль играет число  которое называется мнимой единицей и обозначается   буквой   

                                                                                                                                             (3)

Определение 2.  Два комплексных   числа  и   равны тогда и только тогда, когда равны и их действительные и их мнимые части, т.е.

                                      , если  и                                                     (4)

При этом  для комплексных чисел понятия «больше» и «меньше» не вводятся.

Определение 3. Два комплексных числа  и  имеющие одинаковые действительные и противоположные по знаку мнимые части, называются  сопряженными комплексными числами.

Множество всех комплексных чисел обозначается буквой  

Алгебраические операции над комплексными числами.

Как уже отмечалось, множество комплексных чисел рассматривается как расширение  множества действительных чисел. Поэтому, арифметические операции над комплексными числами определяются так, чтобы сохранялись известные правила действий над действительными числами.

Определение 1. Суммой двух комплексных чисел  и  называется комплексное число  где                      

Таким образом,   

                                                                                                     (1)

При таком определении суммы сохраняются переместительный и сочетательный законы сложения:

                                                                  (2)

Так же, как и в области действительных чисел, существует единственное комплексное число  (см.п.1),называемое нулем, сумма которого с произвольным комплексным числом  равна этому числу .

Определение 2. Произведением двух комплексных чисел  и  называется комплексное число  такое, что  

                                                                                               (3)

Непосредственно из определения  (3) следует, что выполняются переместительный, сочетательный и распределительный (дистрибутивность умножения относительно сложения) законы при умножении комплексных чисел, т.е.

 и    соответственно.

Заметим, что умножение на действительную единицу  не меняет комплексного числа:                                                                                и                                             (4)

Приведем также результат умножения сопряженных чисел

                                                            

В силу определения произведения комплексных чисел для квадрата мнимой единицы получаем соотношение

                                                                                           (5)

Из определения (3)  следует, что произведение двух комплексных чисел равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Справедливо и обратное утверждение – если произведение двух комплексных чисел равно нулю, то по крайней мере один из сомножителей равен нулю.

С учетом формул (1), (4) и определения мнимой единицы , находим важный для дальнейшего рассмотрения результат:

                                                                            (6)

Таким образом, любое комплексное число  может быть записано в виде

                                                                                                                                                  (7)

который называется алгебраической формой записи комплексного числа и позволяет производить операции сложения и умножения комплексных чисел по обычным правилам алгебры многочленов с учетом формулы  

Вычитание комплексных чисел определяется как операция обратная сложению.

Определение 3. Комплексное число   называется разностью двух комплексных чисел  и , если  

                                       (8)

Деление комплексного числа   на комплексное число , отличное от нуля,

определяется как операция обратная умножению.

  Определение 4.. Комплексное число   называется частным двух комплексных чисел  и  если

                                                                                                                                                   (9)

По определению равенства двух комплексных чисел(см.п.1) из формулы (9) получаем систему линейных уравнений для определения  и  с определителем  отличным от нуля.

Решив эту систему находим

                                                                                            (10)

Формулу (10) можно получить  другим способом (числитель и знаменатель дроби умножаются на число  сопряженное знаменателю)

                                       (11)