Определение постоянных интегрирования

Определение постоянных интегрирования производятся путем совместного решения системы линейных алгебраических уравнений по известным значениям корней характеристического уравнения, а так же по известным значениям свободной составляющей X_св и ее производных, взятых при

Для любой электрической цепи с помощью законов Кирхгофа и законов коммутации можно найти:

– численное значение искомой свободной составляющей X_св при : ;

– численное значение первой, а если необходимо, и высших производных от искомой свободной составляющей X_св при :

Считая известными значения этих величин, а также корней характеристического уравнения, рассматривается методика определения постоянных интегрирования для наиболее характерных случаев.

1. Цепь первого порядка имеет характеристическое уравнение первой степени с одним корнем p. Выражение свободной составляющей при этом

Подстановка :

В связи с этим, постоянная интегрирования A в данном случае определяется по значению свободной составляющей :

2. Цепь второго порядка имеет характеристическое уравнение второй степени (квадратное уравнение) с двумя корнями.

2.1. Если корни уравнения p1 и p2 действительные и не равны друг другу, выражение свободной составляющей имеет вид:

В таком случае для нахождения свободной составляющей требуется определить постоянные интегрирования А1 и А2. Поэтому, необходимо получить еще одно уравнение, которое связывает искомые величины. Для этого продифференцируем по времени уравнение для свободной составляющей:

Подстановка = 0+ t в уравнения для X_св и дает:

Совместное решение данных уравнений даст искомые постоянные интегрирования А1 и А2.

2.2. Если корни уравнения p1 = p2 = p действительные и равные (кратные), выражение свободной составляющей имеет вид:

В таком случае следует определить постоянные интегрирования А1 и А2. Продифференцируем по времени уравнение для свободной составляющей:

Подстановка = 0+ t в уравнения для X_св и дает:

Совместное решение этих уравнений даст искомые постоянные интегрирования А1 и А2.

2.3. Если корни характеристического уравнения p1,2 = – δ ± jω0 комплексно-сопряженные, выражение свободной составляющей имеет вид:

Здесь δ – коэффициент затухания; ω0 – угловая частота. В таком случае требуется определить постоянные интегрирования А и ψ. Дифференцируя по времени выражение для свободной составляющей, получим: