Учебная КАРТА практического занятия №17

Дата	Группа
	1111
	1211
	1311
	1411
	1511

Наименование учебной дисциплины

ОУДП.12 Математика

Наименование темы учебной дисциплины Тема 4.2 Элементы теории вероятностей

Тема практического занятия: Схемы Бернулли повторных испытаний

Количество часов: 2часа

Место проведения:  Кабинет Математики

Характер работы:  репродуктивный

Форма организации учебной деятельности студентов: индивидуальная

Образовательные задачи:

1)Обобщение, закрепление теоретических знаний:

- независимые испытания Бернулли

- условия независимых испытаний Бернулли,

- формула называется формулой Бернулли,

- наивероятнейшее число успехов.

2)Формирование умений:

- решать задачи с применением формулы Бернулли.

  3) Формирование интеллектуальных и исследовательских умений: 

- выделять главное, существенные признаки;

- осуществлять самоконтроль и коррекцию своей учебной деятельности;

- рационально использовать рабочее время.

4)Формирование компонентов компетенций

- владеть основами научной организации труда.

Оборудование (аппаратура, материалы и др.):

– раздаточный материал, тексты заданий;

- ПК и медиаоборудование;

.

Задание студентам на самоподготовку (учебная и справочная литература):

Дадаян А.А. Математика гл. 15, §15.11, с. 468-471

Хронологическая структура заданий практического занятия

Время (мин)	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65	70	75	80	85	90
Структурные элементы	1	2	2	2	3	3	3	4	4	4	4	4	4	4	4	4	5	5

Дидактическая структура практического занятия

Структурные элементы	Деятельность преподавателя	Деятельность студентов
1. Целевая установка.	1. Сообщение плана учебного занятия. 2. Ознакомление с требованиями к знаниям и умениям по теме.	1. Подготовка рабочего места 2. Запись темы урока.
2. Проверка теоретической готовности студентов к выполнению заданий практического занятия	Проверка домашнего задания: 1) проверка выполнения решения задач №№…. (в рабочих тетрадях) 2) организация фронтального опроса 3) организация индивидуального опроса (у доски) – решение типовой задачи с объяснением алгоритма действий	Демонстрируют выполнение домашнего письменного задания Отвечают на вопросы Решают задачу. Объясняют алгоритм решения
3. Инструктаж о содержании, этапах работы, способах (методах) действий.	1) Сообщение содержания и последовательности выполнения практических заданий 2) Представление комплектов материалов, необходимых для выполнения заданий (учебник, компьютерная презентация, раздаточный материал) 3) Обучение практическим приемам: Решать задачи с применением формулы Бернулли на примере решения типовой задачи	1) Подготовка к выполнению практических заданий 2) Ознакомление с комплектом учебных материалов 3) Усвоение правил работы: Решать задачи с применением формулы Бернулли.
4. Организация выполнения заданий практического занятия	1) Организация выполнения студентами практических заданий:  Задание: Решать задачи с применением формулы Бернулли. 2) Организация работы над основными математическими понятиями:  независимые испытания Бернулли, условия независимых испытаний Бернулли, формула называется формулой Бернулли, наивероятнейшее число успехов.	Самостоятельная работа студентов по выполнению заданий
5. Оценка выполненной работы	1) Проверка правильности выполнения заданий 2) Оценка результатов выполнения заданий	Ответы на поставленные вопросы, пояснения полученных результатов.

Основные понятия

Испытания Бернулли.

Теория вероятностей имеет дело с такими экспериментами, которые можно повторять, по крайней мере теоретически, неограниченное число раз. Пусть некоторый эксперимент повторяется п раз, причем результаты каждого повторения не зависят от исходов предыдущих повторений. Такие серии повторений часто называют независимыми испытаниями. Частным случаем таких испытаний являются независимые испытания Бернулли, которые характеризуются двумя условиями:

1)результатом каждого испытания является один из двух возможных исходов, называемых соответственно «успехом» или «неудачей»;

2) вероятность «успеха» в каждом последующем испытании не зависит от результатов предыдущих испытаний.
Теорема Бернулли. Если производится серия из n независимых испытаний
Бернулли,   В   каждом из которых успех появляется с вероятностью р, то
вероятность того, что успех в n испытаниях появится ровно m раз, выражается формулой

где q=1-p - где вероятность неудачи.

Эта формула называется формулой Бернулли.

 

Наивероятнейшее число успехов.

Число m, при котором биномиальные вероятности P_n(m) достигают своего максимального значения (при фиксированном числе испытаний п) называют обычно наиболее вероятным (наивероятнейшим) числом успехов. Справедливо следующее утверждение о наивероятнейшем числе успехов:

Наивероятнейшее число успехов m* в серии из п независим ых испытаний Бернулли (с вероятностью успеха р в одном испытании) определяется соотношением np-q<m*<np+p, причем

1. если число пр- q - дробное, то существует одно наивероятнейшее число m*;

2. если число np-q - целое, го существует два наивероятнейших числа m*=np-q, m*=np+p;

3. если пр - целое число, то наивероятнейшее число m*=np.

 

 

Примеры:

Пример 1. Игральная кость бросается 6 раз. Найти вероятность того, что ровно 3 раза выпадет «шестерка».

Решение. Пятикратное бросание кости можно рассматривать как последовательность независимых испытаний с вероятностью успеха («шестерки») равно 1/6 и вероятностью неудачи — 5/6. Искомую вероятность

найдем по формуле

 

Пример 2. Монета бросается 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет не

более, чем 2 раза.

Решение. Искомая вероятность равна сумме трех вероятностей

 

Пример 3. Монета подбрасывается 3 раза. Найти наиболее вероятное число успехов (выпадений герба).

Решение.Возможными значениями для числа успехов в 3-х рассматриваемых испытаниях m=0,1, 2,3. Пусть A_m | -событие, состоящее в том, что при 3-х подбрасываниях монеты герб появляется m раз. По^-формуле Бернулли легко найти вероятности событий A_m (см. таблицу):

m	0	1	2	3
Рп(m)	1/8	3/8	3/8	1/8

Из этой таблицы видно, что наиболее вероятными значениями являются числа 1 и 2 (их вероятности равны 3/8), Этот же результат можно получить и из приведенного выше утверждения.

Пример 4.Вероятность получения удачного результата при производстве сложного химического опыта равна ¾. Найти наивероятнейшее число удачных опытов, если общее их количество равно 10.

Решение. В этом примере n=10, р=3/4=0,75, q=l/4=0,25. Тогда неравенство для наиболее вероятного числа успехов выглядит так:

np-q<m*<np+p, т.е. 10*0,75-0,25 < m *<10*0,75+0,75, или 7,25< m *<8,25.

Существует только одно целое решение этого неравенства, а именно, m *=8.

                                  

Практические задания

1. Бросается монета 7 раз. Найти вероятность выпадения орла три раза
2. Вероятность того, что лампа останется неисправной после 1000ч работы, равна 0,2. Какова вероятность того, что из пяти ламп не менее трех останутся исправными после 1000ч работы?
3. Самолет имеет 4 двигателя. Вероятность нормальной работы каждого двигателя равна 0,95. Найти вероятность того, что в полете могут возникнуть неполадки в одном из двигателей.
4. Вероятность того, что на некотором предприятии расход электроэнергии не превысит суточной нормы, равна 0,8. Какова вероятность того, что в течении 5 дней из 7 перерасхода электроэнергии не произойдет?
5. Для нормальной работы на линии должно быть не менее 8 автобусов, а их имеется 10. Вероятность невыхода каждого автобуса на линию равна 0,1. Найти вероятность нормальной работы в ближайший день.

 

 

Перечень литературы

Основная учебная литература

Баврин, И. И. Математика: учебник и практикум для среднего профессионального образования / И. И. Баврин. — 2-е изд., перераб. и доп. — Москва: Издательство Юрайт, 2019. — 616 с. — (Профессиональное образование). —Текст: электронный // ЭБС Юрайт

Учебно-методическая литература

Капкаева, Л. С. Теория и методика обучения математике: частная методика в 2 ч. Часть 1: учебное пособие для среднего профессионального образования / Л. С. Капкаева. — 2-е изд., испр. и доп. — Москва: Издательство Юрайт, 2019. — 264 с. — (Профессиональное образование). —Текст: электронный // ЭБС Юрайт

Кучер, Т. П. Математика. Тесты: учебное пособие для среднего профессионального образования / Т. П. Кучер. — 2-е изд., испр. и доп. — Москва: Издательство Юрайт, 2019. — 541 с. — (Профессиональное образование). — Текст: электронный // ЭБС Юрайт

Башмаков М. И. Математика: задачник. – М.: Академия, 2012

 

 

Дополнительная учебная литература

Богомолов, Н. В. Математика. Задачи с решениями в 2 ч. Часть 1: учебное пособие для среднего профессионального образования / Н. В. Богомолов. — 2-е изд., испр. и доп. — Москва: Издательство Юрайт, 2019. — 439 с. — (Профессиональное образование). —Текст: электронный // ЭБС Юрайт

Богомолов, Н. В. Математика. Задачи с решениями в 2 ч. Часть 2: учебное пособие для среднего профессионального образования / Н. В. Богомолов. — 2-е изд., испр. и доп. — Москва: Издательство Юрайт, 2019. — 320 с. — (Профессиональное образование). —Текст: электронный // ЭБС Юрайт

Любецкий, В. А. Элементарная математика с точки зрения высшей. Основные понятия: учебное пособие для среднего профессионального образования / В. А. Любецкий. — 3-е изд. — Москва: Издательство Юрайт, 2019. — 537 с. — (Профессиональное образование). —Текст: электронный // ЭБС Юрайт

Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учебник для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности СПС, - М., 2012

 Интернет-ресурсы

Образовательный математический сайт Exponenta.ru http://www.exponenta.ru

Общероссийский математический портал Math_Net.Ru  http://www.mathnet.ru

Материалы по математике в Единой коллекции цифровых образовательных ресурсов http://school.msu.ru

Портал Allmath.ru – вся математика в одном месте

Математика: Консультационный центр преподавателей и выпускников МГУ