Полученные операторные представления ряда x (k) обеспечивают, в частности, возможность проведения параметрического спектрального анализа:
- если , т.е. то его спектральная плотность мощности имеет вид
;
- если , т.е. то его спектральная плотность мощности имеет вид
.
Чтобы получить минимальное представление, содержащее наименьшее число параметров, желательно учесть в модели обе компоненты, так что
или, в операторной форме,
Такую модель называют моделью авторегрессии со скользящим средним: или Спектральная плотность мощности такого процесса имеет вид
.
Авторегрессия: процессы Маркова и Юла
Временной ряд { x (k)} называется процессом Маркова, если он удовлетворяет модели авторегрессии первого порядка AR (1):
Очевидно,
поэтому при если , то
если , то ряды расходятся. Это значит, что смоделированный таким образом процесс
Временной ряд { x (k)} называется процессом Юла, если он удовлетворяет модели авторегрессии второго порядка AR (2):
(8.8)
|
|
или где Условие устойчивости состоит в том, что оба корня полинома должны лежать внутри единичного круга комплексной плоскости. В терминах коэффициентов a 1, a 2 это означает, что они должны лежать внутри треугольника, приведенного на рис. 8.6. Спектральная плотность процесса (8.8) имеет вид
Контрольные вопросы
1. Формирующий фильтр
2. Отбеливающий фильтр
3. Условия стационарности и обратимости
4. Параметрическое оценивание СПМ
5. Процесс Маркова и его свойства
6. Процесс Юла и его свойства
Задания на лабораторную работу № 8
1. Сформировать выборку из стационарного процесса Юла
2. Интерпретировать ее как выходной сигнал системы, на вход которой подан гауссов белый шум.
3. Оценить СПМ процессов на входе и выходе в параметрической и в непараметрической форме
4. Проверить на данном примере выполнение основной теоремы теории линейных систем.
ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ
Уравнения Юла-Уокера
Уравнения, связывающие значения корреляционной функции процесса с коэффициентами ai, bj, называют уравнениями Юла-Уокера.
Пример 9.1. Пусть временной ряд { x (k)} удовлетворяет модели авторегрессии второго порядка AR (2) - процесс Юла, уравнение (8.9). При моделировании такого ряда нужно обеспечить выполнение условий M x (1)=M x (2)=0, тогда, очевидно, M x (k)=0 для всех k. Требуется получить уравнения для ковариаций
K (j)=M[ x (k) x (k – j) ], .
Возьмем основное уравнение (11)
домножим обе его части на x (k- 1), x (k- 2), x (k-j), и перейдем в полученных соотношениях к математическим ожиданиям:
В формировании значений x (k -1), x (k -2),… участвуют случайные составляющие с номерами только до k -1, поэтому
|
|
,
В терминах ковариаций K (j) получаем систему уравнений
(9.1)
откуда
Обратно, если известны ковариации, то
Если известны оценки нескольких ковариаций, то оценки коэффициентов a 1, a 2 можно получить из системы (9.1) по МНК.
Пример 9.2. Пусть временной ряд { x (k)} удовлетворяет модели ARMA (1,1):
(9.2)
Если обеспечить условие M x (1)=0, то, очевидно, M x (k)=0 для всех k. Требуется получить уравнения для ковариаций
K (j)=M[ x (k) x (k – j) ], .
a) Возьмем основное уравнение (13), домножим обе его части на x (k- 2) и перейдем в полученных соотношениях к математическим ожиданиям:
т.е. Kx (2)= aKx (1), Аналогично получаем, что для всех j
Kx (j+1)= aKx (j), так что Kx (j +1)= a jKx (1).
Рассмотрим новый процесс
(9.3)
и вычислим его дисперсию и первую ковариацию двумя способами.
b) Из первого выражения для y (k) в (9.3)
но, как показано в пункте a), Kx (2)= aKx (1), поэтому
c) Из второго выражения для y (k) в (9.3)
Приравнивая выражения для моментов, полученные двумя разными способами, приходим к системе уравнений Юла-Уокера:
Таким образом, если имеются значения коэффициентов a, b, или их оценки, то
В то же время, если известны значения, например, Kx (0), Kx (1), Kx (2), то уравнения для нахождения a, b, оказываются нелинейными и параметры процесса определяются неоднозначно. Существует договоренность, согласно которой из нескольких решений такой системы уравнений выбирают то единственное решение, для которого выполняются условия устойчивости и обратимости. Такое решение называют минимально-фазовым.