Дискретные модели стационарных временных рядов

    Любой стационарный случайный процесс y (t) можно с заданной точностью ε представить как выходной сигнал x (t) линейной системы, на вход которой подается белый шум так, что для их спектральных плотностей мощности (СПМ) выполняется соотношение

В частности, стационарный временной ряд x (k) с нулевым средним можно описать как выходной сигнал линейной системы, на вход которой подается белый шум :

                                                  (8.1)

В этом случае дисперсия

,                                               (8.2)

так что должно выполняться условие сходимости

Кроме того, поскольку σ _е ² играет роль масштабного множителя, можно сразу положить b ₀=1. В другой форме выходной сигнал можно получить в виде взвешенной суммы прошлых значений x (k):

                                            (8.3)

Очевидно, что на коэффициенты { a_i } также не могут быть произвольными, на них приходится накладывать некоторые условия, обеспечивающие стационарность ряда { x (k)}.

    Поскольку по конечному числу наблюдений можно оценить только конечное число параметров, в качестве моделей выбираются конечные отрезки рядов (8.1) и (8.3):

                                  (8.4)

или

                                 (8.5)

Введем в рассмотрение оператор сдвига на один шаг назад  

Тогда соотношение (8.7) можно переписать в виде

                    (8.6)

соотношение (8) – в виде

                            (8.7)

Выражение (8.6) можно интерпретировать как формирующий фильтр – оно показывает, как процесс x (k) получается из белого шума e (k). Выражение (8.7) интерпретируется как отбеливающий фильтр: оно показывает, как из процесса x (k) можно получить белый шум. Очень важно, что с этими соотношениями можно работать совершенно формально. Например, если  то

Модель (8.6) называется моделью скользящего среднего порядка q: или  (MA – moving averages). Модель (8.10) называется моделью авторегрессии порядка p:  или  (AR – auto regression).

   Для того, чтобы модель авторегрессии описывала стационарный процесс, требуется, чтобы все корни полинома лежали внутри единичного круга комплексной плоскости. Модель скользящего среднего всегда описывает стационарный процесс, но для ее обратимости, т.е. возможности преобразования в модель авторегрессии, необходимо выполнение добавочного условия: все корни полинома  должны лежать внутри единичного круга.