Конечные цепи Маркова с дискретным временем
Рассмотрим последовательность зависимых случайных величин со значениями 1, 2,…, r. Индексы 0,1,…, n,… интерпретируются как моменты времени. В общем случае вероятность зависит от всей предыстории процесса, то есть от всех значений, которые принимали элементы последовательности до момента k и определяется как условная вероятность
Зависимость называется Марковской, если эта вероятность не зависит от предыстории и равна
В этом случае говорят, что величины образуют конечную цепь Маркова с дискретным временем. Если при этом величины π ij не зависят от k, то цепь называется однородной.
Физическая интерпретация. Имеется физическая система, которая может находиться в одном из состояний A 1,…, Ar и переходит из состояния в состояние скачком в моменты tk, tk = t 0+ k Δ t. Свойство марковости означает, что система не обладает памятью, на будущее влияет только состояние в последний зафиксированный момент времени.
Марковская зависимость введена российским академиком А.А. Марковым в 1906 г. как естественное обобщение независимости, при котором можно ожидать сохранения Закона больших чисел и центральной предельной теоремы. Независимо такие задачи появились в физике, прежде всего – в квантовой механике.
|
|
Однородная Марковская цепь характеризуется векторами и матрицами вероятностей перехода за l шагов , l = 1, 2, … n, … Очевидно, что для всех рассматриваемых i, j, k, l
Потоки событий
Поток событий – это последовательность событий, происходящих одно за другим в некоторые моменты времени.
Примеры:
- Поток вызовов на телефонной станции;
- Поток включений приборов в бытовой сети;
- Поток сбоев в аппаратуре;
- Поток выстрелов по цели.
События, образующие поток, могут быть различными, но мы будем рассматривать потоки однородных событий, различающихся только моментами появления. Такие события называют вызовами или заявками.
Пусть x (t 1, t 2 ) – число вызовов на промежутке [ t 1, t 2]. Этот процесс характеризуется распределением вероятностей { P (x (t 1, t 2 ) = k)}.
Поток событий называется стационарным, если это распределение зависит только от разности t 1 - t 2: x (t 1, t 2 ) x (0, t 1- t 2 ): вероятностные характеристики не зависят от времени.
Поток событий называется потоком без последействия (однородным), если для любых непересекающихся промежутков [ t 1, t 2] и [ t 3, t 4] случайные величины x (t 1, t 2 ) и x (t 3, t 4 ) независимы: заявки поступают в систему независимо друг от друга.
Поток событий называется ординарным, если
очевидно, в этом случае : заявки приходят поодиночке, а не группами. Параметр λ называется интенсивностью потока.
|
|
Если поток обладает всеми тремя свойствами, его называют простейшим потоком или стационарным пуассоновским потоком.
Теорема. При взаимном наложении (суммировании) большого числа стационарных ординарных потоков с практическим любым последействием получается поток, сколь угодно близкий к простейшему. Условия – как в центральной предельной теореме: складываемые потоки должны быть не слишком сильно зависимыми и оказывать на сумму приблизительно равномерно малое влияние.
Замечание.Регулярный поток, в котором события наступают через равные промежутки времени , простым в вероятностном смысле не является, так как он обладает достаточно сильным последействием: если событие произошло в момент t, то в течение времени новых событий не происходит.