Расчет цепей методом эквивалентных преобразований

Как было сказано выше, расчет цепей синусоидального тока в комплексном виде можно производить всеми известными методами расчета цепей постоянного тока: методом эквивалентных преобразований, применением законов Кирхгофа, методом узловых потенциалов, методом контурных токов и т.п.

Расчет цепей с одним источником энергии проще производить методом эквивалентных преобразований. Этот метод заключается в том, что, преобразуя схему, приводим ее к схеме с последовательным соединением сопротивлений.

Пример такого преобразования см. в пункте 2.6, пример 2.1.

Расчет цепи методом эквивалентных преобразований производится с помощью закона Ома:

 

где  – комплексное действующее значение тока;  – комплексное действующее значение напряжения; Z – комплексное сопротивление цепи.

Z = R + j - j  = R + j(  = z ,

 

где R – активное сопротивление цепи, Ом; j  – комплексное индуктивное сопротивление цепи;  =  =  – модуль (величина) индуктивного сопротивления цепи, Ом; – j  – комплексное емкостное сопротивление цепи;  = 1/2() = 1/(  – модуль емкостного сопротивления цепи, Ом; j(  – комплексное реактивное сопротивление цепи; (  – модуль реактивного сопротивления цепи, Ом; z =  – модуль полного комплексного сопротивления цепи, Ом.

Угол  в зависимости от величин R,  цепи может принимать различные значения 0 до .

 = 0 – при идеальном активном сопротивлении цепи (Z = R);

 – при идеальном индуктивном сопротивлении цепи (Z = );

 – при идеальном емкостном сопротивлении цепи (Z = );

0 <  <  – при активно-индуктивном сопротивлении цепи (Z = );

 <  < 0 – при активно-емкостном сопротивлении цепи (Z = ).

 

Сопротивления цепи могут быть соединены:

 

1. Последовательно (рис. 2.2.): по всем элементам цепи протекает один и тот же ток  =  / Z.

Сопротивление цепи:

 

Z = , Ом,

где R = , Ом;  = , Ом;  = , Ом; z = , Ом; , «», если > ; «», если   .

 

 

 

Рис. 2.2

 

2. Параллельно (рис. 2.3): по каждой ветви цепи протекает свой ток , а в неразветвленной цепи – ток .

 

 

Рис. 2.3

 

, ,

где , ,

.

 

3. Смешанное соединение (рис. 2.4):

 

 

Рис. 2.4

 

Например,

Для расчета такой цепи находится общее сопротивление Z. Сопротивления  соединены параллельно Ом.

Сопротивление  оказывается при этом соединенным последовательно с   Z = + , Ом. Схема рис. 2.4. превращается в схему рис. 2.5.

 

 

Рис. 2.5

 

Ток  определяется по закону Ома: =  / Z.

Для определения токов  воспользуемся законом Ома для участка цепи. Определим напряжение на параллельном участке цепи :

 

 

После чего найдем искомые токи в ветвях: , [A]; , [A];

После нахождения всех токов необходимо выполнить проверку, чтобы убедиться в правильности расчета:

- по первому закону Кирхгофа: ;

- по второму закону Кирхгофа: , где .

 

Баланс мощности

На основании закона сохранения энергии, суммарная мощность источников энергии должна быть равна суммарной мощности приемников:

 

где =  =  ± j  = ;

 j ;

; ; .

 – комплексная мощность источника энергии;  – комплексная мощность источника энергии;  – комплексный ток, А;  – сопряженный комплекс тока , A,  – активная мощность источника цепи, Вт;  – активная мощность приемников цепи, Вт;  – реактивная мощность источников цепи, вар;  – реактивная мощность приемников цепи, вар.  – полная мощность источников цепи, ВА;  – полная мощность приемников цепи, ВА.

Баланс мощности является также проверкой правильности расчета цепи.

 

Векторная диаграмма

Векторная диаграмма строится на комплексной плоскости и представляет совокупность векторов токов и напряжений цепи.

Векторная диаграмма позволяет проверить правильность расчетов цепи.

Построение векторной диаграммы надо начинать с выбора масштаба напряжений и токов. Векторная диаграмма может быть построена как в показательной, так и в алгебраической форме записи комплексных величин.

При построении векторной диаграммы в показательной форме надо иметь в виду, что:

- За условно положительное направление вращения в электротехнике принято направление против часовой стрелки, поэтому начальные фазы векторов откладываются от оси +1 против часовой стрелки, если они положительны и по часовой стрелке, если отрицательны.

- Направление угла  показывается от тока к напряжению.

При построении векторной диаграммы в алгебраической форме по действительной оси откладывается действительная часть комплексного числа, а по мнимой – коэффициент при «j» в выбранном масштабе.

Рассмотрим пример построения векторной диаграммы (при записи расчетных значений в показательной – рис. 2.6 и алгебраической – рис. 2.7 формах) для следующих данных:

 

;

;

 = 220

 

 

Рис. 2.6                                                  Рис. 2.7

 

На векторной диаграмме можно производить сложение и вычитание векторов.

При построении векторной диаграммы в домашнем задании, диаграммы токов и напряжений строятся на одном чертеже (см. рис. 2.10), при этом каждая из них строятся в своем масштабе!

Примеры расчета

 

1. Исходная схема цепи приведена на рис. 2.1.

 

 

Рис. 2.8.

 

2. Исходные данные для составления расчетной схемы и дальнейших расчетов (табл. 2.1):

 

.

Z ₁=   Z ₂=

Z ₃=     Z ₄=

 

3. Для составления расчетной схемы и определения параметров цепи переведем комплексные сопротивления Z _1, Z _2, Z _3, Z _4, записанные в показательной форме, в алгебраическую форму:

Z ₁=

Z ₁ – активно-емкостное сопротивление: R₁ = 82,9 Ом;

Z ₂ =

Z ₂ – активно-индуктивное сопротивление: R₂ = 13,9 Ом; –

Z ₃ =

Z ₃ – активно-индуктивное сопротивление: R₃ = 79 Ом; –

Z ₄ =

Z ₄ – емкостное сопротивление: –

 

4. По исходной схеме и характеру сопротивлений составим расчетную схему цепи, рис. 2.8.

5. Расчет комплексных значений токов будем производить методом эквивалентных преобразований.

Определим сопротивление цепи (рис. 2.9). Сопротивления Z ₂ и Z ₄ соединены последовательно: Z ₂₄ = Z ₂ + Z ₄ = 13,9 + j99 – j54 = 13,9 + j45 = 47,1 .

 

 

Рис. 2.9

 

Сопротивления Z ₂₄ и Z ₃ соединены параллельно:

 

Z ₂₃₄ = (Z ₂₄ Z ₃)/(Z ₂₄ + Z ₃ ) = 41,1  86 /(13,9 + j45 +79 + j31,8) = 4050,6 /120,5

 

Общее сопротивление цепи Z:

Z = Z ₁ + Z ₂₃₄ = 82,9 – j75 + 18,5 + j27,5 = 101,4 – j47,5 = 112  Ом.

 

Ток цепи ₁ найдем по закону Ома:

 

₁ = / Z = 168 /112 =1,5 = -0,34 + j1,46, A.

 

Для ₂ и ₃ найдем напряжение на параллельном участке ₂₃₄:

 

₂₃₄ = ₁ Z ₂₃₄ = 1,5 33,6 = -47 +j18, B.

 

Токи цепи:

 

 

Проверим правильность расчета по первому закону Кирхгофа:     ₁ = ₂ + ₃.

 

-0,34 + j1,46 = 0,067 + j1,06 – 0,416 + j0,40 = -0,34 + j1,46.

 

6. Комплексные действующие значения напряжений

- на параллельном участке:

 

- На последовательном участке:

.

 

Проверим правильность расчетов по второму закону Кирхгофа:   .

 

 =

34,74 + j164,3  33,6 + j164,8.

 

7. Схема включения приборов (рис. 2.9): амперметра «А» для измерения тока в неразветвленном участке цепи, вольтметра «V» для измерения напряжения на параллельном участке.

Показания приборов: A  (см. значение ); V  (см. значение ).

На рис. 2.9 представлена схема включения ваттметра (W) для измерения активной мощности всей цепи. В задании ваттметр требуется включить таким образом, чтобы он измерял активную мощность только параллельного участка цепи.

Показания ваттметра: W  P =  

 

;     cos(-25 ) = 0,906.

 

8. Баланс мощности цепи:

 

.

 

x(79 + j31,8) = 186,52 – j168,75 + 15,91 + j51,52 + 26,57 + j10,69 = 229 – j106,54 = 252,5

 

 

Равенство мощностей источника энергии и приемников подтверждает правильность расчета цепи.

Векторная диаграмма цепи приведена на рис. 2.10.

 

 

Рис. 2.10

Контрольные вопросы

1. Комплексное сопротивление цепи с последовательным соединением R = 80 Ом и x_L = 60 Ом равно: в алгебраическом виде Z =       , в показательном виде Z =         .

2. Комплексное сопротивление цепи с сопротивлением x_C = 100 Ом равно: в алгебраическом виде Z =         , в показательном виде Z =         .

3. Ветвь, состоящая из индуктивного сопротивления x_L = 100 Ом и ветвь, состоящая из емкостного сопротивления x_С = 50 Ом соединены параллельно, общее сопротивление цепи равно Z =         .

4. Цепь, состоящая из ветвей пункта 3, подключена к источнику переменного напряжения  = 100 В, токи ветвей равны ₁ = ____, ₂= ___, ток в неразветвленной части цепи  = ______.     

5. Соотношение между максимальным и действующим значением синусоидального переменного тока            .

6. При построении векторных диаграмм за условно-положительное направление вращения принимается направление                 .

7. Синусоидальные величины с положительной начальной фазой откладываются от оси «+1»                   часовой стрелки.

8. Векторная диаграмма тока и напряжения ветви с активно-индуктивным сопротивлением Z = R + jx_L имеет вид                   .

9. Векторная диаграмма тока и напряжения ветви с емкостным сопротивлением Z = -jx_c имеет вид                   .

10. Общее сопротивление цепи с параллельным соединением ветвей с сопротивлением Z ₂ и Z ₃, соединенных последовательно с Z ₁               равно              .

11. Активная мощность цепи равна нулю, если сопротивление  цепи               .

12. Реактивная мощность цепи будет положительной в цепи с ________ сопротивлением.

13. В цепи с активно-емкостным соединением полная комплексная сопряженная мощность равна             .

14. Комплексная мощность цепи  =                   .

15. Приборы в цепях синусоидального тока показывают                   .        значение измеряемой величины.

16. Цепь синусоидального тока с последовательным соединением R, L, C, в которой X_L = X_C работает в режиме                   .

17. Если в цепи с активно-реактивным сопротивлением преобладает емкостное сопротивление, то ток                     напряжение.

18. Если в цепи, состоящей из параллельно включенных сопротивлений X_L и X_C, cos  цепи = 1, то цепь будет работать в   режиме                   .