Тема:Понятие объема.Свойства объемов

Задания для дистанционного обучения

Курс гр.201

 

Урок №65-66

Тема:Понятие объема.Свойства объемов

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Понятие объема.

• Свойства объемов.

• Объем прямоугольного параллелепипеда.

• Формула объема прямоугольного параллелепипеда.

• Следствия из теоремы об объеме прямоугольного параллелепипеда.

Объём тела - положительная величина, характеризующая часть пространства, занимаемую телом, и обладающая следующими основными свойствами:

• равные тела имеют равные объемы; при параллельном переносе тела его объем не изменяется;

• если тело разбить на части, являющиеся простыми телами, то объем тела равен объему его частей;

• за единицу объема принят объем куба, ребро которого равно единице длины;

Основная литература:

Атанасян Л. С. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы [текст]: учеб.для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни – М.: Просвещение, 2014. – 255 с., сс. 130–133.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

В повседневной жизни мы опираемся на интуитивное представление об объёме тела. Физические тела окружают нас, поэтому представить такое абстрактное понятие как «геометрическое тело» не представляет особого труда, что нельзя сказать про ранее изученные понятия «точка», «отрезок прямой» и «плоская фигура», которые являются чистыми абстракциями и не имеют материального воплощения. «Точка» вообще не имеет ни одной характеристики, «отрезок прямой» характеризуется «длиной», для «плоской фигуры» введено понятие «площадь».

Отметим, что построение логически безупречной теории измерения длин, площадей или объёмов, или, как принято в математике, теории меры, не элементарно, в частности, требует привлечения тонких методов математического анализа. В рамках школьного курса, мы лишь наметим основные этапы такого построения, оставив без доказательства многие фундаментальные факты.

Определение:

Объём тела это положительная величина, характеризующая часть пространства, занимаемую телом, и обладающая следующими основными свойствами:

• равные тела имеют равные объемы; при параллельном переносе тела его объем не изменяется;

• если тело разбить на части, являющиеся простыми телами, то объем тела равен объему его частей;

• за единицу объема принят объем куба, ребро которого равно единице длины;

Следствие

Возьмём куб с объёмом, принятым за единицу измерения объёма. Его ребро равно единице измерения длины отрезков. Выберем три ребра, сходящиеся к одной вершине. Разобьём каждое из этих рёбер на n равных частей (n - произвольное целое число, в случае кубика Рубика n равно трём) и проведём через точки разбиения каждого плоскости, перпендикулярные к этому ребру. Весь куб разобьётся на равных маленьких кубов с ребром. Так как объём исходного куба равен одному, то объём каждого маленького куба будет равен.

Этот факт нам понадобится при выводе теоремы об объёме прямоугольного параллелепипеда.

Теорема: Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений.

Доказательство

Обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда P буквами a,b,c, его объём буквой V, и докажем, что.

Могут представиться два случая.

Первый случай. Измерения а, b и c представляют собой конечные десятичные дроби. В этом случае числа являются целыми. Разобьём каждое ребро параллелепипеда на равные части длины и через точки разбиения проведём плоскости, перпендикулярные к этому ребру. Параллелепипед P разобьётся на равных кубов с ребром. Так доказали, V=abc, что и требовалось доказать.

Второй случай/ Хотя бы одно из измерений а, b и c представляет собой бесконечную десятичную дробь. Рассмотрим конечные десятичные дроби a_n, b_n, c_n которые получаются из чисел а, b, c, если отбросить в каждом из них все цифры после запятой, начиная с n+1. Очевидно,, где, и аналогичные неравенства справедливы для b и c. Перемножив эти неравенства, получим, где,.

По доказанному в первом случае левая часть неравенства представляет собой объём прямоугольного параллелепипеда с измерениями,,, а правая часть это объём прямоугольного параллелепипеда с измерениями a,b,c. Так как параллелепипед P содержит в себе параллелепипед? а сам содержится в параллелепипеде. Будем неограниченно увеличивать n. Тогда будет становиться сколь угодно малым, и поэтому будет сколь угодно мало отличаться от числа. Отсюда следует, что число V сколь угодно мало отличается от числа, а значит они равны., что и требовалось доказать.

Очень важным следствием данной теоремы является другая форма записи для объёма параллелепипеда, если мы рассмотрим его как одну из разновидностей призмы.

Следствие/ Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Докажем (самостоятельно)

Свойство жидкости заполнять резервуар в нижней части позволяет также измерять объём твёрдых тел, используя метод погружения тела в жидкость и измеряя увеличение уровня жидкости в резервуаре с прямоугольным дном и вертикальными стенками. Проводя измерения объёма тела сложной формы, Архимед пришёл к открытию своего знаменитого «Закона Архимеда». Действительно, при погружении в жидкость, тело вытесняет ровно столько жидкости, каков объём самого тела.

Данное следствие нам очень пригодится при изучении формулы вычисления объёма призм и цилиндра.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля.

Объём раствора в гальванической ванне равен Vкуб.м, при этом уровень раствора достигает H см. В ванну погрузили деталь, после чего уровень раствора поднялся на h см. Поставьте в соответствие размеры гальванической ванны и деталь, которая в неё погружается.

Домашнее задание: выучить конспект, Решите задачу

Дан прямоугольный параллелепипед ABMQDCNP так, что М совпадает с началом координат, N лежит на оси абсцисс, B на оси ординат, Q на оси аппликат. Вершина D имеет координаты (8;6;3). Задано несколько точек, одна из которых О1 находится внутри параллелепипеда. Координаты (9;1;2) (7;4;2) (4;-1;5) (4;5;4). Определите какие координаты у О1, остальные игнорируйте. Определите объём всех восьми параллелепипедов, которые образуются при разбиении тремя плоскостями, проходящими через O1 и параллельно граням параллелепипеда.

При правильном ответе получите свою заслуженную оценку.

Урок №67-68