2015-05-05
23265
Длина, площадь, масса, время, объём – величины. Первоначальное знакомство с ними происходит в начальной школе, где величина наряду с числом является ведущим понятием.
Величина – это особое свойство реальных объектов или явлений, и особенность заключается в том, что это свойство можно измерить, то есть назвать количество величины. Величины, которые выражают одно и тоже свойство объектов, называются величинами одного рода или однородными величинами. Например, длина стола и дли на комнаты – это однородные величины. Величины – длина, площадь, масса и другие обладают рядом свойств.
1) Любые две величины одного рода сравнимы: они либо равны, либо одна меньше (больше) другой. То есть, для величин одного рода имеют место отношения «равно», «меньше», «больше» и для любых величин и справедливо одно и только одно из отношений: Например, мы говорим, что длина гипотенузы прямоугольного треугольника больше, чем любой катет данного треугольника; масса лимона меньше, чем масса арбуза; длины противоположных сторон прямоугольника равны.
2) Величины одного рода можно складывать, в результате сложения получится величина того же рода. Т.е. для любых двух величин а и b однозначно определяется величина a+b, её называют суммой величин а и b. Например, если a-длина отрезка AB, b – длина отрезка ВС (рис.1), то длина отрезка АС, есть сумма длин отрезков АВ и ВС;
3) Величину умножают на действительное число, получая в результате величину того же рода. Тогда для любой величины а и любого неотрицательного числа x существует единственная величина b= x а, величину b называют произведением величины а на число x. Например, если a – длину отрезка АВ умножить на x= 2, то получим длину нового отрезка АС. (Рис.2)
4) Величины одного рода вычитают, определяя разность величин через сумму: разностью величин а и b называется такая величина с, что а=b+c. Например, если а – длина отрезка АС, b – длина отрезка AB, то длина отрезка ВС есть разность длин отрезков и АС и АВ.
5) Величины одного рода делят, определяя частное через произведение величины на число; частным величин а и b-называется такое неотрицательное действительное число х, что а= х b. Чаще это число – называют отношением величин а и b и записывают в таком виде: a/b = х. Например, отношение длины отрезка АС к длине отрезка АВ равно 2.(Рис №2).
6) Отношение «меньше» для однородных величин транзитивно: если А<В и В<С, то А<С. Так, если площадь треугольника F1 меньше площади треугольника F2 площадь треугольника F2 меньше площади треугольника F3, то площадь треугольника F1 меньше площади треугольника F3. Величины, как свойства объектов, обладают ещё одной особенностью – их можно оценивать количественно. Для этого величину нужно измерить. Измерение – заключается в сравнении данной величины с некоторой величиной того же рода, принятой за единицу. В результате измерения получают число, которое называют численным значением при выбранной единице.
Процесс сравнения зависит от рода рассматриваемых величин: для длин он один, для площадей – другой, для масс- третий и так далее. Но каким бы ни был этот процесс, в результате измерения величина получает определённое численное значение при выбранной единице.
Вообще, если дана величина а и выбрана единица величины e, то в результате измерения величины а находят такое действительное число x, что а=x e. Это число x называют численным значением величины а при единице е. Это можно записать так: х=m (a).
Согласно определению любую величину можно представить в виде произведения некоторого числа и единицы этой величины. Например, 7 кг = 7?1 кг, 12 см =12?1 см, 15ч =15?1 ч. Используя это, а также определение умножения величины на число, можно обосновать процесс перехода от одной единицы величины к другой. Пусть, например, требуется выразить 5/12ч в минутах. Так как, 5/12ч = 5/12 60мин = (5/12? 60)мин = 25мин.
Величины, которые вполне определяются одним численным значением, называются скалярными величинами. Такими, к примеру, являются длина, площадь, объём, масса и другие. Кроме скалярных величин, в математике рассматривают ещё векторные величины. Для определения векторной величины необходимо указать не только её численное значение, но и направление. Векторными величинами являются сила, ускорение, напряжённость электрического поля и другие.
В начальной школе рассматриваются только скалярные величины, причём такие, численные значения которых положительны, то есть положительные скалярные величины.
Измерение величин позволяет свести сравнение их к сравнению чисел, операции над величинами к соответствующим операциям над числами.
1. Если величины а и b измерены при помощи единицы величины e, то отношения между величинами a и b будут такими же, как и отношения между их численными значениями, и наоборот.
a=b m (a)=m (b),
a>b m (a)>m (b),
a
Например, если массы двух тел таковы, что а=5 кг, b=3 кг, то можно утверждать, что масса а больше массы b поскольку 5>3.
2. Если величины а и b измерены при помощи единицы величины e, то, чтобы найти численное значение суммы a+b достаточно сложить
численные значения величин а и b. а+b= c m (a+b) = m (a) + m (b). Например, если а = 15 кг, b=12 кг, то а+b=15 кг + 12 кг = (15+12) кг = 27кг
З. Если величины а и b таковы, что b= x а, где x -положительное действительное число, и величина а, измерена при помощи единицы величины e, то чтобы найти численное значение величины b при единице e, достаточно число x умножить на число m (а):b=x a m (b)=x m (a).
Например, если масса а в 3 раза больше массы b, т.е. b = За и а = 2 кг, то b = За = 3? (2 кг) = (3?2) кг = 6 кг.
Рассмотренные понятия – объект, предмет, явление, процесс, его величина, численное значение величины, единица величины – надо уметь вычленять в текстах и задачах.
Например, математическое содержание предложения «Купили 3 килограмма яблок» можно описать следующим образом: в предложении рассматривается такой объект, как яблоки, и его свойство – масса; для измерения массы использовали единицу массы – килограмм; в результате измерения получили число 3 - численное значение массы яблок при единице массы – килограмм.
Рассмотрим определения некоторых величин и их измерений.
