Схема исследования функций

Условия возрастания и убывания функций.

Теорема 1. Для того чтобы дифференцируемая на интервале  функция  была неубывающей (невозрастающей) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы  () для всех .

Теорема 2. Если функция  дифференцируема на интервале  и  () для всех , то эта функция возрастает (y6ывaeт) на интервале .

Точки экстремума.

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Теорема 3. (необходимое условие существования экстремума) Если функция  в точке х ₀ имеет экстремум, то производная  обращается в нуль или не существует.

Следствие. Обратное утверждение неверно. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум.

Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.

Теорема 4. (достаточное условие существования экстремума) Если при переходе через критическую точку х ₀ слева направо производная функции  меняет знак с “+” на “–“, то в точке х ₀ функция  имеет максимум, а если производная меняет знак с “–“ на “+” – то функция имеет минимум.

Правила нахождения экстремумов функции.

1) Найти производную функции.

2) Найти критические точки функции.

3) Исследовать знак производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции.

4) Определить существование максимумов и минимумов и найти значение функции в этих точках.

Схема исследования функций

Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:

1) Область существования функции (это понятие включает в себя и область значений, и область определения функции).

2) Исследовать функцию на четность и периодичность.

3) Координаты точек пересечения графика функции с осями координат (если они имеются).

4) Интервалы возрастания и убывания.

5) Точки максимума и минимума.

6) Построение графика.