Определяем диаметр вала из условия прочности

Условие прочности при кручении имеет вид

τ_max =  ≤ [τ],

где W_p= πd³/16 ≈ 0,2d³ – полярный момент сопротивления (момент сопротивления при кручении).

Наибольший по абсолютному значению крутящий момент возникает на втором участке вала:

М_τmax = │М_z2 │= 500 кН·см.

Тогда требуемый диаметр вала определяется по формуле

d^треб ≥  =  = 6,79 см.

Округляя полученное значение до стандартного, принимаем диаметр вала равным d = 70 мм.

Определяем углы закручивания поперечных сечений A, B, C, D и E и строим эпюру углов закручивания

Сначала вычисляем крутильную жесткость стержня GI_p, где G – модуль сдвига, а

I_p = πd⁴/32 ≈ 0,1 d⁴ – полярный момент инерции. Получим

GI_p = 0,8*10⁴ *0,1 * 7⁴ = 192*10⁴  кН·см².

Углы закручивания на отдельных участках стержня равны:

φ_{AB =}  =  = 0,0156 рад;

φ_{BC =}  =  = 0,0052 рад;

φ_{CD =}  =  = - 0,0260 рад;

φ_{DE =}  =  = - 0,0113 рад.

Угол закручивания в заделки равен нулю, то есть φ_A = 0. Тогда

φ_B = φ_{A +} φ_AB = 0 + 0,0156 = 0,0156 рад;

φ_C = φ_{B +} φ_BC = 0,0156 + 0,0052 = 0,0208 рад;

φ_D = φ_{C +} φ_CD = 0,0208 – 0,0260 = - 0,0052 рад;

φ_E = φ_{D +} φ_DE = - 0,0052 – 0,0113 = - 0,0165 рад;

Эпюра углов закручивания показана на рис. 9.1, в. Отметим, что в пределах длины каждого из участков вала угол закручивания изменяется по линейному закону.

Задачи на кручение "круглого" стержня

Жестко защемленный одним концом стальной стержень (модуль сдвига G = 0,8*10⁴ кН/см²) круглого поперечного сечения скручивается четырьмя моментами М_i (рис. 9.2).

Требуется:

· построить эпюру крутящих моментов;

· при заданном допускаемом касательном напряжении [τ] = 8 кН/см² из условия прочности определить диаметр вала, округлив его до ближайшего из следующих значений 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200 мм;

· построить эпюру углов закручивания поперечных сечений стержня.

Варианты расчетных схем к задаче на кручение стержня круглого сечения

Рис. 8.2.

Таблица 8.1. Исходные условия для самостоятельного решения

Номер схемы	М1, кН·м	М2, кН·м	М3, кН·м	М4, кН·м	a, м	b, м	c, м	d, м
1	1,0	2,0	1,0	1,0	1,0	1,2	1,4	1,6
2	1,0	2,0	1,0	0,8	1,2	1,4	1,6	1,9
3	2,0	4,0	1,0	1,0	1,4	1,6	1,0	1,2
4	3,0	5,0	1,6	1,4	1,6	1,0	1,2	1,4
5	4,0	6,0	1,8	1,4	1,1	1,1	1,8	1,5
6	2,0	4,0	1,2	1,2	1,3	1,3	1,5	1,1
7	2,0	3,0	1,2	1,0	1,5	1,5	1,3	1,3
8	3,0	4,0	1,0	1,0	1,7	1,7	1,5	1,4
9	4,0	5,0	1,8	1,6	1,9	1,9	1,7	1,3
10	5,0	6,0	2,0	1,6	1,2	1,4	1,4	1,2