Изучение нового материала

Исследовательская работа по выработке алгоритма для решения рациональных уравнений.

Идёт обсуждение плана решения рациональных уравнений 2-   = 0 и

=  -1 с записью опорных слов алгоритма на доске.

Какие шаги необходимо предпринять для того, чтобы упростить решение уравнения           (перенести все слагаемые в одну часть, преобразовать левую часть уравнения к виду алгебраической дроби , решить уравнение р(х)=0, проверить, не обращается ли знаменатель в нуль).

Решение рациональных уравнений (на доске решает ученик).

Пример 1. Решим уравнение

2-                              (1)
Применим к левой части уравнения (1) правило вычитания алгебраических дробей:
2- =  =             (2)

Для любого числа х₀ ≠ 1 равны числовые значения левой и правой частей равенства (2).

В частности, если для некоторого числа  обращается в нуль одна часть равенства (2), то для него обращается в нуль и другая его часть. А это означает, что уравнение (1)равносильно уравнению

= 0. (3)

Уравнение (3) мы умеем уже решать. Для этого решим сначала уравнение

                                                     Х-3=0.

Оно имеет единственный корень = 3. При этом число = 3 не обращает в нуль знаменатель дроби левой части уравнения (3):

Поэтому уравнение (3) имеет единственный корень = 3.

Значит, и исходное уравнение (1) имеет единственный корень =3.

Ответ:3.
Пример 2. Решим уравнение

=  -1. (4)

Перенесём все члены уравнения (4) влево, получим уравнение

-  +1=0, (5)

равносильное уравнению (4).

Применим к левой части уравнения (5) правила сложения и вычитания алгебраических дробей:

-  +1=  = .

Рассуждая, как в примере (1), получим уравнение

=0(6)
равносильное уравнению (5).

Для решения уравнения (6) надо сначала решить уравнение

-3х+5=0.

Поскольку его дискриминант

Д=в²- 4ас = (-3)²  -4*1*5 = -11, -11<0,

то оно не имеет корней.

Следовательно, исходное уравнение (4) не имеет корней.

Ответ: не имеет корней.

Давайте попробуем сформулировать алгоритм решения дробных рациональных уравнений. Дети сами формулируют алгоритм.

1. Перенести все члены уравнения в левую часть.

2. Преобразовать левую часть уравнения к виду алгебраической дроби .

 3. Решить уравнение p(x)=0.

4. Для каждого корня уравнения p(x)=0 сделать проверку: удовлетворяет ли он условию q(x)≠0 или нет.

Если да, то это корень заданного уравнения; если нет, то это посторонний корень и в ответ его включать не следует.

Записать ответ.