Проекции ускорения точки на естественные оси

Пусть точка движется по криволинейной траектории и в момент времени она занимает положение и имеет скорость , а в момент - положение и имеет скорость . Длину элементарной дуги обозначим .

Представив скорость, как и учитывая зависимость (26) получаем выражение для ускорения .

Выясним кинематический смысл слагаемых правой части. С первой составляющей все понятно, модуль этого составляющего ускорения равен и направлен этот вектор по направлению орт вектора , т.е. по касательной. Эта составляющая ускорения называется касательным или тангенциальным ускорением и обозначается

(37)

Рассмотри вторую составляющую, т.е. определяем модуль и направление вектора . , где - разность векторов и , построенных в точках и . Чтобы найти вектор перенесем вектор, не изменяя его направления из точки в точку . Соединив концы векторов и , достроим до параллелограмма (рис. 54). Вектор представляет собой разность векторов и , т.е.

Разделив на промежуток времени получим новый вектор , направленный по прямой . Выясним направление этого вектора в пределе при . Как было указано в предыдущем параграфе, плоскость параллелограмма в пределе при превращается в соприкасающуюся плоскость траектории в точке . Отсюда следует, что вектор лежит в соприкасающееся плоскости.

Найдем величину угла между векторами и , т.е. угол . Треугольник является равнобедренным, т.к. , (рис. 55). Угол при вершине равен углу смежности . Получаем , а поэтому . Отсюда заключаем, что в пределе при угол становится прямым, а следовательно направление вектора совпадает с положительным направлением главной нормали, т.е. с направлением орт вектора , значит

. Определяем модуль этого вектора . Из треугольника (рис.18) , тогда . Переходим к пределу

. Тогда .

. Окончательно . Тогда . Этот вектор также полностью определен, по модулю он равен и направлен по главной нормали к центру кривизны, с учетом орт вектора . Эта составляющая ускорения называется нормальным или центростремительным ускорением и обозначается

(38)

Оба вектора и лежат в соприкасающейся плоскости, значит и итоговый вектор лежит в этой же плоскости, а проекция этого вектора на бинормаль равна нулю .

(39)

Т.о. проекция ускорения на направление скорости равна производной от модуля скорости по времени, а проекция ускорения на главную нормаль равна отношению квадрату скорости к радиусу кривизны траектории в той же точке, где в данный момент находится движущаяся точка.

Рассмотрим как определяется ускорение точки для частных случаев движения.

1. Равномерное прямолинейное движение.

, , , ,

2. Неравномерное прямолинейное движение.

, , , , ,

3. Равномерное криволинейное движение.

, , , , ,

Неравномерное криволинейное движение.

, , , , , .

Используя связь между координатным и естественным способами задания движения точки, можно вывести зависимости, связывающие проекции ускорения на естественные и декартовые оси. Из зависимости (37)

(40)