Рекомендации по изучению теоретических вопросов курса

Основные формулы и теоремы вариационного исчисления

Вариационное исчисление позволяет отыскивать экстремали функционала,

Основной теоремой вариационного исчисления является теорема Эйлера: если функция у=у (t) доставляет экстремум интегралу J, то она должна удовлетворять следующему дифференциальному уравнению (уравнению Эйлера):

(6.1)

Решение уравнения Эйлера называется экстремалью.

Применим уравнение Эйлера для определения формы линии на плоскости, которая кратчайшим способом соединяет две точки – А и В.

Длина элементарного участка траектории согласно рис.5.1а равна

Длина всей линии

. (6.1)

Здесь

Находим частные производные от F и производную по аргументу х

(6.3)

Подставляем (5.3) в уравнение Эйлера (5.2)

откуда

Это уравнение прямой линии, соединяющей точки А и В. Постоянные интегрирования находятся из условия прохождения прямой чрез точки А и В.

В общем случае уравнение Эйлера является дифференциальным уравнением второго порядка, и в решение его входят две произвольные постоянные. Эти произвольные постоянные должны быть определены из граничных условий. Простейшим случаем граничных условий является условие, чтобы кривая у (t) проходила через две заданные точки: .

В частных случаях уравнение Эйлера может превращаться в дифференциальное уравнение 1-го порядка, или даже в уравнение, не содержащее производных. Соответственно должно уменьшаться и число задаваемых граничных условий.

Уравнение Эйлера является необходимым, но не достаточным условием, т.е. функции, удовлетворяющие уравнению (6.2), в некоторых случаях могут не доставлять экстремума. Для того чтобы решения уравнения Эйлера доставляли экстремум функционалу (6.1), достаточно, чтобы они не имели самосопряженных точек (условие Якоби) и выполнялось условие (Лежандра):

- для минимума и - для максимума функционала (6.1).

Задача о разыскании экстремума функционала (6.1) является простейшей задачей вариационного исчисления.

фазовые переменные которого наложены ограничения типа неравенств.

Главными достоинствами метода являются:

- достаточно простое определение экстремалей, состоящих из кусочно-непрерывных функций, которые могут иметь разрывы (изменяться скачком);

- учитываются ограничения типа неравенств (5.7).

Теоремы принципа максимума справедливы для систем управления, поведение которых описывается системой дифференциальных уравнений первого порядка:

(6.4)

где у_i - фазовые координаты объекта; u_j - управления.

Базовая постановка задачи оптимального формулируется следующим образом: отыскать управления и u (t), переводящие систему за время Т из положения у (0) в положение у (Т) и доставляющие экстремум функционалу

(6.5)

Решение, полученное в такой постановке, затем распространяется (трансформируется) на оптимальные САУ произвольного типа.

Переход к описанию объекта управления в виде системы уравнений вида (6.4) от линейного уравнения n -го порядка, например, осуществляется путем замены переменных и подстановки их в исходное уравнение. Пусть уравнение объекта с одним управляющим воздействием и имеет вид

Тогда, обозначая можем записать систему п уравнений первого порядка, эквивалентную системе (6.4):

В число фазовых координат объекта включают еще величину у₀, характеризующую текущее значение функционала, т.е.

Дифференциальное уравнение для координаты у₀ записывается

(6.6)

запишем окончательно систему уравнений задачи оптимального управления:

или в общем виде (6.7)

Важную роль в принципе максимума играют вспомогательные переменные ψ₀ (t), ψ₁ (t) ,…, ψ_n (t) и функция Н, называемая гамильтонианом

(6.8)

Функции ψ_i (t) определяются из дифференциальных уравнений

(6.9)

Если в (6.9) подставить функцию Н (6.8), то получим систему дифференциальных уравнений относительно функций ψ_i (t)

(6.10)

Теперь сформулируем основную теорему принципа максимума:

Оптимальное управление и (t) с координатами u₁ (t) ,…,u_r (t), доставляющее минимум функционалу J, одновременно обеспечивает максимум гамильтониану Н (6.8) при условии, что существует ненулевая непрерывная функция ψ (t) с координатами ψ₁ (t) ,…, ψ_r (t), удовлетворяющими уравнениям (6.9), т.е.

Особенностью принципа максимума является то, что вариационная задача нахождения функции и (t), доставляющей экстремум функционалу J, заменена гораздо более простой задачей математического анализа нахождения параметра и, доставляющего максимум вспомогательной функции Н (и).

Пример решения

1. Требуется найти экстремум функционала. Решим вариационным методом

при граничных условиях

Найдём частные производные:

Вычислим полную производную по t от Fy':

Составляем дифференциальное уравнение Эйлера вида:

или, после упрощений

Его общее решение имеет вид

Для нахождения произвольных постоянных C1 и C2 подставим решение в граничные условия:

Видно, что система имеет единственное решение. Решая эту систему, найдём значения C1 и C2:

и тогда уравнение экстремали имеет вид:

Уравнение Эйлера является необходимым, но не достаточным условием, т.е. функции в некоторых случаях могут не доставлять экстремума. Для того чтобы ре-шения уравнения Эйлера доставляли экстремум функционалу, достаточно, чтобы они не имели самосопряженных точек (условие Якоби) и выполнялось условие (Лежандра) для минимума .