Статистическое (численное) моделирование

Многие системы слишком сложны для исследования влияния неопределенности с использованием аналитических методов. Однако такие системы можно исследовать, если рассматривать входные данные в виде случайных переменных, повторяя большое количество вычислений N (итераций), для получения результата с необходимой точностью.

При исследовании сложных систем, подверженных случайным возмущениям, используются вероятностные имитационные модели, в которых влияние случайных факторов учитывается с помощью задания вероятностных характеристик случайных процессов (законы распределения вероятностей, спектральные плотности или корреляционные функции). При этом результаты, полученные при воспроизведении на имитационной модели рассматриваемого процесса, являются случайными реализациями. Поэтому для нахождения объективных и устойчивых характеристик процесса требуется его многократное воспроизведение, с последующей статистической обработкой полученных данных. Именно поэтому исследование сложных процессов и систем, подверженных случайным возмущениям, с помощью имитационного моделирования принято называть статистическим моделированием.

Статистическое моделирование является разновидностью имитационного моделирования, одним из базовых методов моделирования.

Оно представляет собой способ вычисления статистических характеристик случайных процессов путем многократного воспроизведения течения процесса с помощью модели этого процесса.

Статистическая модель случайного процесса – это алгоритм, с помощью которого имитируют работу сложной системы, подверженной случайным возмущениям; имитируют взаимодействие элементов системы, носящих вероятностный характер.

Тогда статистическое моделирование можно определить как способ изучения сложных процессов и систем, подверженных случайным возмущениям, с помощью имитационных моделей. Имитацию используют тогда, когда другие методы применить невозможно.

Статистическое моделирование, в основном, осуществляется с помощью компьютерных программ (гораздо реже – «вручную») и использует возможность современных компьютеров производить и обрабатывать огромное количество случайных чисел за короткие промежутки времени.

Подавая последовательность случайных чисел на вход исследуемой функции или модели, на её выходе получают преобразованную последовательность случайных величин – выборку. При правильной организации подобного статистического эксперимента выборка содержит ценную информацию об исследуемой функции или модели, которую трудно или практически невозможно получить другими способами. Информация извлекается из выборки методами математической статистики. 

В основе статистического моделирования лежит метод Монте-Карло.

Он позволяет, опираясь на строгие законы теории вероятностей, свести широкий класс сложных задач к относительно простым арифметико-логическим преобразованиям выборок. Поэтому этот метод получил очень широкое распространение для анализа многих социально-экономических процессов. В частности, он почти всегда используется при имитационном моделировании реальных сложных систем.

Суть метода Монте-Карло заключается в следующем: для целевой случайной величины генерируется набор случайных значений, а затем на его основе рассчитываются требуемые значения.

Он основан на воспроизведении с помощью какого-либо генератора случайных чисел большого числа реализаций случайного процесса, построенного по условиям задачи.

Этот случайный процесс формируется таким образом, чтобы его вероятностные характеристики (вероятности некоторых случайных событий, математические ожидания случайных величин, вероятности попадания траекторий процесса в заданную область и т.д.) были равны искомым величинам решаемой задачи

Большим преимуществом метода Монте-Карло является то, что он позволяет учесть в модели элемент случайности и сложность реального мира. Кроме того, метод является робастным[1] по отношению к изменению различных параметров, таких как распределение случайной величины. В его основе лежит закон больших чисел.

Одним из типичных примеров использования метода Монте-Карло являются задачи, в которых необходимо найти математическое ожидание некоторой случайной величины. Для этого нужно сгенерировать набор случайных значений данной величины и найти среднее. Случайная величина обычно характеризуется определенным распределением вероятностей.

Метод Монте-Карло может быть применен для оценки неопределенности финансовых прогнозов, результатов инвестиционных проектов, при прогнозировании стоимости и графика выполнения проекта, нарушений бизнес-процесса и замены персонала.

Данный метод применяют в ситуациях, когда результаты не могут быть получены аналитическими методами или существует высокая неопределенность входных или выходных данных.

Величину, которую нужно вычислить, представляют в виде математического ожидания функции от n независимых равномерно распределенных случайных величин p 1,..., pn.

                                         f (p1,..., pn)

Используя генератор случайных чисел, получают последовательность групп случайных величин p 1,..., pn и последовательность реализаций функции f (p1,..., pn).

В качестве приближенного значения оцениваемой величины принимают среднее арифметическое по реализациям.

Среднеквадратическая погрешность статистической оценки с ростом числа реализаций N убывает пропорционально .

Достаточное число реализаций находят методами математической статистики.

Рассмотрим работу метода Монте-Карло на примере вычисления числа π.

1. Впишем круг в квадрат (диаметр круга равен стороне квадрата).

 

2. Выразим отношение площади круга к площади квадрата следующим образом:

 

 

Если мы сможем вычислить это отношение, значит, мы сможем получить из него значение числа π.

3. Заполним квадрат точками со случайными координатами (они попадают в случайное место при работе генератора случайных чисел, выдающего координаты для их «падения»).

 

 

4. Рассчитаем отношение количества точек, попавших в круг, к общему количеству точек. При достаточном количестве точек и их случайном положении это отношение можно считать соотношением площадей круга и квадрата.

5. Умножим результат на 4, чтобы получить значение числа π.

Чем больше количество точек, тем ближе полученное значение к истинному значению числа π.

Таким образом, мы рассчитали целевое значение, не имея, фактически, точных данных об изучаемом объекте (например, размеров фигур, радиуса), но применив подход, включающий элемент случайности. Аналогично метод применяется в изучении объектов, о которых трудно или невозможно получить конкретные аналитические данные.

 Преимуществами метода Монте-Карло является:

- Вероятностные результаты.

- Графическое представление результатов.

- Анализ чувствительности. Д етерминистский анализ затрудняет определение того, какая из переменных в наибольшей степени влияет на результаты. При проведении моделирования по ММК несложно увидеть, какие исходные данные оказывают наибольшее воздействие на конечные результаты.

- Возможность анализа различных сценариев.

Наиболее часто ММК применяется для оценки рисков инвестиционных проектов.

Риск – это возможность возникновения в ходе реализации проекта условий, при которых наступят негативные последствия для участников проекта и значительное сокращение или отсутствие доходов инвестиционного проекта.

Метод применяется в случае отсутствия возможностей точной оценки параметров риска.

Алгоритм применения метода Монте-Карло для оценки рисков инвестирования:

1. установление взаимосвязи между исходными и выходными

показателями в виде математического уравнения или неравенства

2. задание законов распределения вероятностей для ключевых параметров модели;

3. проведение компьютерной имитации значений ключевых параметров

модели.

4. расчет основных характеристик распределений исходных и выходных показателей;

5. проведение анализа полученных результатов (графический и количественный) и принятие решения.