Определение эмпирических функциональных зависимостей

и их параметров

Целью измерения может являться установление вида функциональной зависимости между измеряемыми неодноименными величинами. Если величина у зависит от величины х, то для определения вида этой зависимости необходимо одновременно измерять как значения x _i, так и соответствующие им значения y _i. Совместная обработка всех полученных значений x _i, y _i позволяет найти эмпирическую формулу y = f(x), описывающую искомую зависимость.

Существуют различные методы вывода эмпирических формул. Согласно простейшему из них экспериментальные точки x_i, y_i наносят на график, затем визуально оценивают, можно ли провести какую- либо линию L (прямую, параболу и т.д.) так, чтобы точки x_i, y_i компактно группировались относительно нее (рис. 5). Выбрав соответствующую линию L, делают выводы о виде функции f (х). Если экспериментальные точки расположены вдоль некоторой прямой L (рис. 6), то аппроксимирующая функция f (х) выбирается в виде

y = а ₀ + а ₁ x. (16)

Для определения параметров а ₀ и а ₁ выбирают на прямой L две

точки М₁(x ₁, y ₁) и М₂(x ₂, y ₂) и составляют два уравнения

у ₁ = а ₀ + а ₁ x ₁, у₂ = а ₀ + а ₁ x ₂, (17)

из которых следует:

а ₀= , а ₁= = . (18)

y L x	y L * M₂ (x ₂ y ₂) D у y ₀· D х M₁(x ₁ y ₁) _* x ₀ х
Рисунок 5	Рисунок 6

Величины а ₀и а ₁ можно определить графически, находя точки пересечения x ₀, y ₀прямой L с координатными осями. Тогда

а ₀= y ₀, а ₁= - у ₀ / х ₀. (19)

Очевидно, что а ₁- угловой коэффициент графика функции (16).

Значения параметров а ₀, а ₁, … а _n с учетом распределения погрешностей измерений могут быть получены методом наименьших квадратов (МНК), в котором используется условие минимума суммы квадратов отклонений = а ₀, а ₁, … а _n) - y _i ]² = min.

Во многих случаях экспериментальные точки х_i,y_i не располагаются

вблизи прямой в координатной системе (х, у). Тогда вид аппроксимирующей функции f (х) устанавливают с помощью замены переменных

v = v (x, y), u = u (x, y), (20)

выбирая подходящие функции.

Если на графике в системе координат (u, v) экспериментальные

точки v _i = j (x _i, y _i), u_i = y (x _i, y _i) группируются вдоль прямой линии

v = а ₀+ а ₁ u, (21)

то, определив по формулам вида (18), (19) значения параметров а ₀ и а ₁, можно с помощью формул (20) найти вид f (х).

Например, для проверки того, описывается ли исследуемая зависимость степенной функцией вида

у = с х ^b, (22)

следует прологарифмировать данную функцию: ln y = ln с + b ln x. Полученное уравнение есть уравнение прямой в координатах ln y, ln x, поэтому

проверка выбора аппроксимирующей функции состоит в логарифмировании экспериментальных значений x_i, y_i и построении графика в осях ln y, ln x (Рис.7).

у х	ln y 2 · D ln у 1 · D ln x x
Рисунок 7

Если экспериментальные точки на данном графике удовлетворительно группируются относительно прямой линии, то функция (22) может быть принята в качестве аппроксимирующей. Тогда в соответствии с (16)- (18) и (22) можно найти значения параметров b и c:

, с = у ₁ / = у ₂ / .

Проверка соответствия показательной функции

у = с e ^{b x} (23)

экспериментальным данным заключается в построении графика в полулогарифмическом масштабе, так как в координатах ln у, x она образует прямую ln y = ln с + b x. Если построенный график достаточно точно отображает прямую линию, то функция (23) описывает наблюдаемую зависимость у от x (Рис.8).

Выбор аппроксимирующей функции - задача неформализуемая, так как одна и та же кривая на данном отрезке с одинаковой точностью может быть описана различными аналитическими выражениями. Поэтому рациональный выбор той или иной функции основан на учете определенных требований, основными из которых являются достаточная простота математического выражения и его содержательность. Содержательность полученной формулы заключается в возможности придания ее параметрам определенного физического смысла.

Параметры b и c находятся по формулам

у х	ln y 1 ^· D ln у D x 2 ^· x
Рисунок 8

, с = у ₁ e ^{- b x},

В условиях физического практикума, как правило, производится сопоставление результатов эксперимента с известной теоретической зависимостью, описывающей изучаемое явление. В этом случае теоретическая зависимость выступает в роли аппроксимирующей функции f, и задача сводится к определению по данным эксперимента значений ее параметров и сопоставлению полученных результатов с выводами теории.

Например, при изучении свободного падения тела на основании данных о координатах тела у_i в определенные моменты времени t_i аппроксимирующей функцией является зависимость у = g t ² / 2, которая в координатах v = y, u = t ² переходит в линейную зависимость v = (g /2) u. Если на графике экспериментальные точки v_i = y_i, u_i = t_i ² расположены вблизи прямой v = а ₁ u, то аппроксимирующая зависимость у = g t ² / 2 представляется удовлетворительной. Тогда, определив по графику значение параметра а ₁, можно вычислить ускорение свободного падения g = 2 а ₁.

При изучении процесса разрядки конденсатора по результатам измерения заряда конденсатора q_i в определенные моменты времени t_i аппроксимирующей функцией является предсказываемая теорией зависимость

q (t) = q ₀ e ^-^{t /}^t, (24)

где q ₀ - заряд конденсатора в момент t = 0, t - время релаксации, причем t = R С, R – сопротивление цепи разряда, С - емкость конденсатора. В соответствии с (24) ln q = ln q ₀- t / t, ln q ₀= а ₀, - 1/t = а ₁. Если на графике экспериментальные точки ln q _i, t _i располагаются вдоль прямой, то можно полагать, что аппроксимирующая зависимость (24) является