Динамика вращательного движения

2.51 Определить момент инерции Jтонкого однородного стержня длиной l = 30 см и массой m = 100 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку, отстоящую от конца стержня на 1/3 его длины.

2.52 Диаметр диска d= 20 см, масса m = 800 г. Определить момент инерции Jдиска относительно оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска.

2.53 На обод маховика диаметром d = 60 см намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m= 2 кг. Определить момент инерции J маховика, если он, вращаясь равноускоренно под действием силы тяжести груза, за время t = 3 с приобрел угловую скорость ω = 9 рад/с.

2.54 Через блок, имеющий форму диска, перекинут шнур. К концам шнура привязали грузики массой m₁= 100 г и m₂ = 110 г. С каким ускорением а будут двигаться грузики, если масса m блока равна 400 г? Трение при вращении блока ничтожно мало.

2.55 Шар массой m = 10 кг и радиусом R = 20 см вращается относительно оси, проходящей через его центр. Уравнение вращения шара имеет вид: φ = А + Bt² + Ct³, где В = 4 рад/с²; С = –1 рад/с³. Найти закон изменения момента сил, действующих на шар. Определить момент сил М в момент времени t = 2 с.

2.56 Через неподвижный блок массой m = 0,2 кг перекинут шнур, к концам которого подвесили грузы массами m₁ = 0,3 кг и m₂ = 0,5 кг. Определить силы Т₁и Т₂ натяжения шнура по обе стороны блока во время движения грузов, если масса блока равномерно распределена по ободу.

2.57 Шкив радиусом R = 5 см жестко связан с маховиком и имеет с ним общую ось вращения. Момент инерции системы J = 105 г∙см². На шкив намотана нить, к концу которой прикреплен груз m = 0,5 кг. Какое ускорение приобретает груз, опустившись с высоты h = 0,5 м? Каково будет натяжение нити во время движения груза?

2.58 К ободу однородного диска радиусом R = 0,2 м приложена касательная сила F = 98,1 Н. При вращении на диск действует момент сил трения М_тр = 4,9 Н∙м. Найти массу диска, если известно, что он вращается с угловым ускорением ε = 100 рад/с².

2.59 Тонкий однородный стержень длиной l = 50 см и массой m = 400 г вращается с угловым ускорением ε = 3 рад/с² около оси, проходящей перпендикулярно стержню через его середину. Определить вращающий момент М.

2.60 Маховик в виде однородного диска массой m = 50 кг и радиусом R = 20 см был раскручен до частоты n = 480 об/мин и затем предоставлен самому себе. Под влиянием трения через t = 50 с он остановился, сделав
N = 200 оборотов. Найти момент силы трения.

Законы сохранения во вращательном движении

2.61 Маховик, момент инерции которого J = 245 кг∙м², вращается с частотой n = 20 об/с. После того, как на колесо перестал действовать вращающий момент, оно остановилось, сделав N = 1000 об. Найти момент сил трения М_тр и время t, прошедшее от момента прекращения действия вращающего момента до остановки колеса.

2.62 Маховик начинает вращаться с постоянным угловым ускорением ε = 0,5 рад/с² и через время t₁ = 15 с после начала движения приобретает момент импульса L₁ = 73,5 кг∙м²/с. Найти кинетическую энергию колеса через время t₂ = 20 с после начала движения.

2.63 Кинетическая энергия W_к вращающегося маховика равна 1 кДж. Под действием постоянного тормозящего момента маховик начал вращаться равнозамедленно и, сделав N = 80 оборотов, остановился. Определить момент силы торможения.

2.64 Шар и сплошной цилиндр одинаковой массы, изготовленные из одного и того же материала, катятся без скольжения с одинаковой скоростью. Определить, во сколько раз кинетическая энергия шара меньше кинетической энергии сплошного цилиндра.

2.65 Колесо, вращаясь равнозамедленно при торможении, уменьшило за t = 1 мин частоту вращения от 300 до 180 об/мин. Момент инерции колеса J = 2 кг∙м². Найти: работу торможения; число оборотов, сделанных колесом за эту минуту.

2.66 Маховик вращается с частотой n = 10 об/с. Его кинетическая энергия W_к = 7,85 кДж. За какое время t момент сил М = 50 Н∙м, приложенный к маховику, увеличит его угловую скорость вдвое?

2.67 Обруч и диск, имеющие одинаковую массу m₁ = m₂, катятся без скольжения с одинаковой скоростью v. Кинетическая энергия обруча
Е_к1 = 39,2 Дж. Найти кинетическую энергию диска Е_к2.

2.68 Шар катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Его полная кинетическая энергия Е равна 14 Дж. Определить кинетическую энергию Е_к1 поступательного и Е_к2 вращательного движений шара.

2.69 Полый тонкостенный цилиндр катится по горизонтальной плоскости со скоростью v₀ = 1,5 м/с. Определить путь, который он пройдет в гору за счет кинетической энергии, если уклон горы равен 5 м на каждые 100 м пути.

2.70 Шар массой m = 1 кг, катящийся без скольжения, ударяется о стенку и откатывается от неё. Скорость шара до удара о стенку v = 10 см/с, после удара u = 8 см/с. Найти количество теплоты Q, выделившееся при ударе шара о стенку.

2.71 Карандаш длиной l = 15 см, поставленный вертикально, падает на стол. Какую угловую и линейную v скорости будет иметь в конце падения: середина карандаша; верхний его конец?

Считать, что трение настолько велико, что нижний конец карандаша не проскальзывает.

2.72 Маховик в виде диска массой m = 80 кг и радиусом R = 30 см находится в состоянии покоя. Какую работу А₁ надо совершить, чтобы сообщить маховику частоту n₁ = 10 с^–1? Какую работу А₂ пришлось бы совершить, если бы при такой же массе диск имел меньшую толщину, но вдвое больше радиус?

2.73 Платформа в виде однородного диска m = 100 кг вращается с частотой n₁ = 10 мин^–1. На краю платформы стоит человек, масса которого равна m₁ = 60 кг. С какой частотой n₂ будет вращаться платформа, если человек перейдет в ее центр? Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

2.74 На скамье Жуковского стоит человек и держит в руках стержень длиной l = 2,4 м и массой m = 8 кг, расположенный вертикально по оси вращения скамейки. Скамья с человеком вращается с частотой n₁ = 1 с^–1. С какой частотой n₂ будет вращаться скамья с человеком, если он повернет стержень в горизонтальное положение? Суммарный момент инерции человека и скамьи равен 6 кг∙м².

2.75 Тонкий прямой стержень длиной l = 1 м прикреплен к горизонтальной оси, проходящей через его конец. Стержень отклонили на угол 60º от положения равновесия и отпустили. Определить линейную скорость v нижнего конца стержня в момент прохождения через положение равновесия.