2020-05-11
370
Основной параметр модели – объем заказа, интервал времени меж-
ду заказами не имеет определенного значения.
Определение оптимального значения объема заказа представляет со-бой нахождение наилучшего сочетания стоимости хранения и стоимости выполнения заказа, находящимися в обратной пропорциональности. При небольших объемах заказов снижаются складские расходы на их содержа-ние, но возрастают расходы на возобновление заказа и его доставку (зака-зы приходится делать чаще). При увеличении величины закупочной пар-тии снижаются затраты на закупку, возможно получение оптовых сидок, но стоимость складирования возрастает.
Общие годовые расходы на запасы представляют собой сумму годо-вой стоимости хранения и годовой стоимости заказа запаса.
Оптимальное значение объема заказа получило название «эконо-мичный объем заказа» (economic order quantity models – EOQ)и опреде-ляется как объем заказа при минимальном значении общих годовых рас-ходов на запасы.
В зависимости от условий заказа различают:
|
|
|
- основную модельEOQ;
- модельEOQс постепенным пополнением запасов;
- модельEOQв условиях количественных скидок.
При использовании модели с фиксированным объемом заказа необ-ходимо определять не только оптимальный объем заказа, но и точку во-зобновления заказа. Это задача моделей ROP (re-order point).
¨ Основная модель экономичного объема заказа (EOQ)
Модель EOQ используется для определения объема заказа, который даст минимальную годовую стоимость хранения запасов и выполнения заказов.
В качестве ограничений принимаем:
- все расчеты относятся только к одному виду товара;
- известны нормы годового спроса;
- спрос равномерно распределен по всему годовому периоду;
- время исполнения заказов не меняется;
- каждый заказ поступает единой поставкой;
- количественные скидки не действуют.
Выведем формулу для расчета экономичного (оптимального) объема заказа.
Общие годовые расходы на запасы определяются как сумма годо-вых расходов на хранение запасов и годовых расходов на заказов:
| Сзг = СзгХРАН + СзгЗАК, | (1) |
где Сзг хран – годовая стоимость хранения запасов; Сзгзак – годовая стоимость заказа запасов.
Сзг
Сзг
Сзгmin Сзг хран
Сзгзак
QО Q
Рис.1. График определения точки EOQ
Годовая стоимость хранения запасов:
|
|
|
| СзгХРАН = СеХРАН ´ QСР , | (2) |
где Qср – средний уровень запасов в год;
Сехран – годовая средняя стоимость содержания одной единицы запаса.
Средний уровень запасов определяется как половина объема зака-за, так как уровень запасов колеблется от Q единиц до 0. Тогда:
| СзгХРАН = СеХРАН ´ | Q | , | (3) | |
| 2 | ||||
где Q – объем заказа.
Годовая стоимость заказа запаса:
| СзгЗАК = СеЗАК ´ | Sг | , | (4) | |
| Q | ||||
где Sг – годовой спрос;
Сезак – стоимость одного заказа;
Sг/ Q – количество заказов в год.
Для определения экономичного объема заказа необходимо опреде-лить точку минимума кривой общих годовых расходов на запасы. Для этого в формулу (1) подставляем (3) и (4)
| Сзг = СеХР ´ | Q | + СеЗАК ´ | Sг | . | (5) | |
| 2 | Q | |||||
Дифференцируем полученное выражение относительно Q,
| dССз | = | СеХРАН | - | СеЗАК ´ Sг | (6) | ||
| dQ |
| 2 | Q2 | ||||
Приравниваем результат к 0 и решаем уравнение для Q. При этом Q заменяем на QО, т. е. оптимальное значение закупочной партии.
| 0 = | СеХРАН | - | СеЗАК ´ Sг | , | (7) | ||||||
|
| QO2 | ||||||||||
| 2 | |||||||||||
| QO2 | = | 2 ´ (СеЗАК ´ Sг) | , |
| (8) | ||||||
|
| |||||||||||
| СеХРАН | |||||||||||
| QO | = | 2 ´ (СеЗАК ´ Sг) | (9) | ||||||||
| СеХРАН | |||||||||||
Минимальные общие годовые расходы на запасы определяются,если подставить Qопт в (5).
Жизненный цикл заказа можно рассчитать по следующейформуле:
| ТцЗАК = | QO | , | (10) |
Sг
где Sг – годовой спрос;
Qо – оптимальный объем заказа.
Средний ежедневный спрос:
| Sеср = | SГ | , | (11) | |
| ФРВ | ||||
где Sг – годовой спрос;
Фрв – годовой фонд рабочего времени организации.
Количество заказов в год:
| NЗАК = | SГ | , | (12) | |
| Qо | ||||
где Sг – годовой спрос;
Qо – оптимальный объем заказа.
¨ Модель EOQ с постепенным пополнением запасов
В основной модели EOQ предполагается единовременное пополне-ние запаса в полном объеме. Но в случае производственных запасов, когда производитель и потребитель запасов совпадают, происходит постепенное пополнение запасов. Если темпы производства опережают темпы потреб-ления, то производство занимает только часть цикла развития запасов.
Их необходимый уровень складывается из разницы производства и потребления на текущий момент времени. Производство прекращается, когда уровень запасов достигает оптимального значения, и далее проис-ходит только потребление запасов. Когда наличный запас заканчивается, цикл повторяется.
Модель EOQ с постепенным пополнением запасов используется для определения оптимальной производственной партии QОп. Как и в основ-ной модели, оптимальное значение Q принимает при минимальной стои-мости затрат на запасы.
| Q | Тцзап | |||
| Тцпф | ||||
| Потребление | Потребление | |||
| Производство | Производство | QОп | ||
| Qmax | ||||
| Наличные | Наличные | t | ||
| запасы | запасы | |||
| Рис. 2. Графическая интерпретация модели EOQ | ||||
| с постепенным пополнением запасов | ||||
Общие годовые расходы на запасы:
| Сзг = СзгХРАН + СзгПП, | (13) |
где Сзг хран – годовая стоимость хранения запасов;
Сзгзак – годовая стоимость подготовки производства.
|
|
|
Годовая стоимость хранения запасов (2):
СзгХРАН = СеХРАН ´ QСР ,
где Qср – средний уровень запасов в год;
Сехран – годовая средняя стоимость содержания одной единицы запаса.
Средний уровень запасов определяется как половина максимально-го уровня запасов Qmax. Поскольку на формирование запасов в данном случае влияет не только объем производственной партии, но и темпы про-изводства и потребления запасов, то:
| Qmax = QП ´ | p - u | , | (14) | |
| p | ||||
где Qп – объем производственной партии,
р – темп производства, u – темп потребления.
Тогда:
| СзгХРАН = СеХРАН ´ | Qmax | , |
| (15) | ||||
|
| ||||||||
| 2 | ||||||||
| СзгХРАН = СеХРАН ´ | QП | ´ | p - u | . | (16) | |||
|
|
| |||||||
| 2 | p | |||||||
Годовая стоимость подготовки производства запаса:
| СзгПП = СеПП ´ | Sг | , | (17) | |
| QП | ||||
где Sг – годовой спрос;
Сепп – стоимость подготовки производства одной партии; Sг/ Qп – количество производственных партий в год.
Для определения экономичного объема производственной партии необходимо определить точку минимума кривой общих годовых расходов на запасы.
Для этого в формулу (13) подставляем (16) и (17), затем дифферен-цируем полученное выражение относительно Qп, приравниваем результат к 0 и решаем уравнение для Q. При этом Qп заменяем на QОп, т. е. опти-
мальное значение производственной партии:
| Сзг = СеХРАН ´ | QП | ´ | p - u | + CeПП ´ |
| Sг | , | |||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
| 2 | p | QП | ||||||||||||||||||||||||||||||
| ¶Сзг | = | СеХРАН | ´ | p - u | - | CeПП ´ Sг | , | |||||||||||||||||||||||||
| ¶QП | 2 | p | QП2 | |||||||||||||||||||||||||||||
| 0 = | СеХРАН | ´ | p - u
| - | CeПП ´ Sг | , | ||||||||||||||||||||||||||
| 2 | p | QоП2 | ||||||||||||||||||||||||||||||
| QоП2 = | 2 ´ СеПП ´ Sг | ´ | p - u | , |
| |||||||||||||||||||||||||||
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||
| СеХРАН | p | |||||||||||||||||||||||||||||||
| QоП = | 2 ´ | СеПП ´ Sг | ´ | p - u |
| . | ||||||||||||||||||||||||||
| СеХРАН | p | |||||||||||||||||||||||||||||||
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
Минимальные общие годовые расходы на запасы определяются,если подставить QОп в (18).
В данном случае продолжительность цикла развития запаса представляет собой время между возобновлениями производства партий запасов оптимального размера:
| ТцЗАП = | QоП | , | (23) | |
| u | ||||
где Qоп – оптимальный объем производственной партии, u – темп потребления.
Продолжительность производственной фазы цикла развития запасов:
| ТцПФ = | QоП | , | (24) | |
| p | ||||
где Qоп – оптимальный объем производственной партии, р – темп производства.
Максимальный уровень запасов рассчитывается по формуле(14)сиспользованием определенного оптимального объема производственной партии.
Ежедневный средний спрос в данном случае:
| uCP = | Sг | , | (25) | |
| Фрв | ||||
где Sг – годовой спрос;
Фрв – годовой фонд рабочего времени организации.
¨ Модель EOQ в условиях количественных скидок
Количественные скидки –это снижение цен на товар при закупкекрупных партий товара.
Основная задача данной модели аналогична задаче основной модели EOQ. Но при этом возникает необходимость учета закупочной цены, так как она меняется с возрастанием объема закупочной партии.
Общие годовые расходы на запасы в данном случае будут опреде-лятся как сумма уже трех слагаемых:
| Сзг = СзгХРАН + СзгЗАК + СзгЗАКУП, | (26) | |
| где | Сзг хран – годовая стоимость хранения запасов; | |
| Сзгзак – годовая стоимость заказа запасов; | ||
| Сзгзакуп – годовая закупочная стоимость. |
Сзг
Сзг1
Сзг2
Сзг3
Реальные
значения
| Сзгзакуп 1 | |||||
| Сзгзакуп 2 | |||||
| Сзгзакуп 3 | |||||
| Диапазон | Диапазон 2 | Диапазон 3 | Q | ||
| 1 |
| ||||
Рис. 3. Изменение кривой общих расходов в случае количественных скидок
Годовая закупочная стоимость запасов:
| СзгЗАКУП = СеЗАКУП ´ Sг, | (27) |
где Sг – годовой спрос;
Сезакуп – закупочная стоимость единицы запаса
Точка изменения цены – это минимальный объем, необходимый для получения скидки.
Цель модели количественных скидок – определение такого объема заказа, который даст минимальные общие расходы для всего набора кривых.
Если расписать слагаемые (26), то формула расчета годовой стои-мости запасов будет иметь следующий вид:
| Сзг = СеХРАН ´ | Q | + СеЗАК ´ | Sг | + СеЗАКУП ´ Sг, | (28) | |
| Q | ||||||
| 2 | ||||||
где Sг – годовой спрос;
Сезакуп – закупочная стоимость единицы запаса; Сезак – стоимость одного заказа;
Sг/ Q – количество заказов в год;
Q – объем заказа;
Сехран – годовая средняя стоимость содержания одной единицы запаса.
Существуют два основных варианта модели.
ПЕРВЫЙ: стоимость хранения единицы запаса фиксирована.
В этом случае EOQ един для всех кривых расходов и определяется по следующему алгоритму:
Шаг 1. Рассчитать обычный EOQ. Далее «шаг 2».
Шаг 2. Определить диапазон цен, в который попал EOQ. Если этот диапазон наименьший, то «шаг 6», если нет – то «шаг 3».
Шаг 3. Рассчитать Сзг (по формуле (28)) для EOQ и для всех точек изменения цены с меньшей закупочной стоимостью. Далее «шаг 4».
Шаг 4. Сравнить полученные показатели Сзг. Далее «шаг 5».
Шаг 5. Определить показатель (EOQ или точка изменения цены), ко-торый дает наименьшие общие расходы. Далее «шаг 6».
Шаг 6. Зафиксировать оптимальный объем партии заказа.
ВТОРОЙ: стоимость хранения единицы запаса определяется как процент от закупочной цены.
В этом случае каждая кривая общих расходов будет иметь свою точ-ку EOQ. Алгоритм определения оптимального объема заказа следующий:
Шаг 1. Рассчитать EOQ для каждого диапазона цен. Далее «шаг 2». Шаг 2. Определить реальный EOQ, совпадающий с диапазоном сво-
ей цены. Если реальный EOQ совпадает с наименьшим диа-пазоном, то «шаг 5». Если нет, то «шаг 3».
Шаг 3. Сравнить Сзг в точках изменения цены для всех меньших цен
с Сзг для максимального реального EOQ. Далее «шаг 4». Шаг 4. Определить минимальный Сзг и соответствующий ему EOQ.
Далее «шаг 5».
Шаг 5. Зафиксировать оптимальный объем партии заказа.
Шаг 3. Рассчитать Сзг (по формуле (28)) для EOQ и для всех точек изменения цены с меньшей закупочной стоимостью. Далее «шаг 4».
Шаг 4. Сравнить полученные показатели Сзг. Далее «шаг 5».
Шаг 5. Определить показатель (EOQ или точка изменения цены), ко-торый дает наименьшие общие расходы. Далее «шаг 6».
Шаг 6. Зафиксировать оптимальный объем партии заказа.
ВТОРОЙ: стоимость хранения единицы запаса определяется как процент от закупочной цены.
В этом случае каждая кривая общих расходов будет иметь свою точ-ку EOQ. Алгоритм определения оптимального объема заказа следующий:
Шаг 1. Рассчитать EOQ для каждого диапазона цен. Далее «шаг 2». Шаг 2. Определить реальный EOQ, совпадающий с диапазоном сво-
ей цены. Если реальный EOQ совпадает с наименьшим диа-пазоном, то «шаг 5». Если нет, то «шаг 3».
Шаг 3. Сравнить Сзг в точках изменения цены для всех меньших цен
с Сзг для максимального реального EOQ. Далее «шаг 4». Шаг 4. Определить минимальный Сзг и соответствующий ему EOQ.
Далее «шаг 5».
Шаг 5. Зафиксировать оптимальный объем партии заказа.
¨ Модель ROP (re-order point)
Основная задача моделей ROP – определить количественно точку возобновления заказа, т. е. уровень запасов, когда их наличный объем дос-таточен для удовлетворения спроса во время исполнения заказа.
Показатели, влияющие на ROP:
- спрос во время исполнения заказа;
- время исполнения заказа.
В зависимости от вероятности изменения этих показателей во время исполнения заказа различаются выражения для определения ROP.
Если спрос и время исполнения заказа постоянны, то точка во-зобновления заказа определяется по формуле
| ROP = Se ´ Ти, | (29) |
где Sе – ежедневный (еженедельный и т. д.) спрос;
Ти – время исполнения заказа в днях (неделях и т. д.)
Если возможно изменение спроса или времени исполнения зака-за,то для уменьшения риска исчерпания запаса на это время необходимосоздавать и поддерживать дополнительный запас, называемый резервным. Тогда точка ROP рассчитывается:
| ROP = SтИ + QРЕЗ, | (30) |
где S Ти – ожидаемый спрос в период исполнения заказа; Qрез – резервный запас.
Объем резервного запаса в каждой конкретной ситуации определя-ется следующими факторами:
· средняя норма потребления (уровень спроса) и среднее время ис-полнения заказа;
· подверженность изменениям показателей спроса и времени испол-нения заказа;
· желаемый уровень обслуживания.
Уровень обслуживания и риск исчерпания запасов являются состав-ными величинами, т. е. их сумма равна 100%. При повышении уровня об-служивания увеличивается объем резервного запаса. В модели предпола-гается, что любое изменение в спросе или времени исполнения заказа можно описать нормальным распределением. Таким образом, резервный запас:
| QРЕЗ = z ´ sSeТe , | (31) |
где z – число стандартных отклонений (определяется из таблиц соответствия z и уровня обслуживания);
σSеТи – стандартное отклонение спроса или времени исполнения заказа.
Стандартное отклонение спроса или времени исполнения заказа может быть расписано следующим образом:
| sSeТe = ТиСР ´ sSe2 + SeСР2 ´ sТи2, | (32) |
где Тиср – среднее время исполнения заказа в днях (неделях и т. д.); σSе – стандартное отклонение спроса в день (неделю и т. д.); Sеср – средний ежедневный (еженедельный и т. д.) спрос;
σТи – стандартное отклонение срока исполнения заказа в днях (неделях и т. д.)
Таким образом, если отсутствуют данные об ожидаемом спросе во время исполнения заказа, то необходимо воспользоваться статистически-ми данными об ежедневных (еженедельных и т.д.) изменениях спроса и срока исполнения заказа.
Варианты формул для расчета ROP, если изменяются:
· одновременно спрос и срок исполнения заказа:
| ROP = SeСР ´ ТиСР + z ´ ТиСР ´ sSe2 | + SeСР2 ´ sТи2, | (33) |
| · только спрос: | ||
| ROP = SeСР ´ Ти + z ´ sSe ´ | Ти, | (34) |
где Ти – время исполнения заказа в днях (неделях и т. д.)
· только срок исполнения заказа:
| ROP = Se ´ ТиСР + z ´ sТи ´ Se, | (35) |
где Sе – ежедневный (еженедельный и т. д.) спрос.
