Расчет цикла Карно для реального газа

Тепловые машины

Создание и развитие термодинамики было вызвано, прежде всего, необходимостью описания работы и расчета тепловых машин. Первыми тепловыми машинами были паровые двигатели, замкнутый термодинамический цикл которых впервые был описан в 1690 году Дени Папином (1647–1712). Первые тепловые двигатели предназначались для подъема воды из шахт и были изобретены английскими инженерами в 1698 году Томасом Севери (1650–1715) и в 1712 году Томасом Ньюкоменом (1663–1715). Если в насосе Севери использовался пар в качестве тела, непосредственно толкающего воду, то машина Ньюкомена была первой поршневой паровой машиной. Отметим, что идея использования поршня принадлежит Папину.

Широкое применение паровых машин в промышленности началось после изобретения в 1774 году Джеймсом Уаттом (1736–1819) паровой машины, в которой работа совершалась без использования атмосферного давления, что значительно сократило расход топлива. Уатт дополнил свои машины важнейшими механическими изобретениями, такими как преобразователь поступательного движения во вращательное, центробежный регулятор, маховое колесо и т.д. В 1784 году Уатт запатентовал универсальную паровую машину двойного действия, в которой пар совершал работу по обе стороны поршня.

Сейчас разработано большое количество разнообразных тепловых машин, в которых реализованы различные термодинамические циклы. Тепловыми машинами являются двигатели внутреннего сгорания, реактивные двигатели, различные тепловые турбины и т.д.

Тепловые машины или тепловые двигатели предназначены для получения полезной работы за счет теплоты, выделяемой вследствие химических реакций (сгорание топлива), ядерных превращений или по другим причинам (например, вследствие нагрева солнечными лучами). На рис. 3.1 приведена условная схема тепловой машины, а рис. 3.2 иллюстрирует ее термодинамический цикл. Для функционирования тепловой машины обязательно необходимы следующие составляющие: нагреватель, холодильник и рабочее тело. При этом, если необходимость в наличии нагревателя и рабочего тела обычно не вызывает сомнений, то холодильник как составная часть тепловой машины в её конструкции зачастую отсутствует. В качестве холодильника выступает окружающая среда.

Рис. 3.1. Схема тепловой машины

 

Рис. 3.2. Термодинамический цикл тепловой машины

 

Принцип действия тепловых машин заключается в следующем. Нагреватель передает рабочему телу теплоту , вызывая повышение его температуры. Рабочее тело совершает работу над каким-либо механическим устройством, например, приводит во вращение турбину, и далее отдает холодильнику теплоту , возвращаясь в исходное состояние. Величина  представляет собой количество теплоты, передаваемое холодильником рабочему телу, и имеет отрицательное значение.

Отметим, что наличие холодильника и передача ему части полученной от нагревателя теплоты, является обязательным, так как иначе работа тепловой машины невозможна. Действительно, для получения механической работы необходимо наличие потока, в данном случае потока теплоты. Если же холодильник будет отсутствовать, то рабочее тело неизбежно придет в тепловое равновесие с нагревателем, и поток теплоты прекратится.

В соответствии с первым началом термодинамики, при осуществлении кругового процесса, из-за возвращения рабочего тела в исходное состояние, его внутренняя энергия за цикл не изменяется. Поэтому совершенная рабочим телом механическая работа равна разности подведенной и отведенной теплоты:

.

(3.1)

Тепловой коэффициент полезного действия (к.п.д.) цикла любой тепловой машины можно рассчитать как отношение полезной работы к количеству теплоты , переданной от нагревателя:

.

(3.2)

Из выражения (3.2) следует, что к.п.д. любой тепловой машины всегда меньше единицы, так как часть полученной от нагревателя теплоты должна передаваться холодильнику.

Термодинамический цикл, осуществляемый в обратном направлении, может быть использован для работы холодильной машины, схема и термодинамический цикл которой приведены соответственно на рис. 3.3 и рис. 3.4. Такие машины, в отличие от тепловых двигателей, предназначены не для получения механической работы из теплоты, а позволяют осуществлять охлаждение различных тел за счет совершения работы.

Рис. 3.3. Схема холодильной машины

 

Рис. 3.4. Термодинамический цикл холодильной машины

 

В холодильной машине за счет совершения внешними телами работы над рабочим телом происходит отвод теплоты от охлаждаемого тела и передача теплоты тепловому резервуару, в качестве которого обычно выступает окружающая среда.

Коэффициент полезного действия или холодильный коэффициент холодильной машины можно определить как отношение отнятой от охлаждаемого тела теплоты к затраченной для этого механической работе :

.

(3.3)

Так как в зависимости от конкретной конструкции холодильной машины количество отводимой от охлаждаемого тела теплоты может как превышать затраченную работу , так и быть меньше ее, то к.п.д. холодильной машины, в отличие от к.п.д. тепловой машины, может быть как больше, так и меньше единицы.

Холодильная машина может быть использована не только для охлаждения различных тел, но и для отопления помещения. Действительно, даже обычный бытовой холодильник, охлаждая помещенные в нем продукты, одновременно нагревает воздух в комнате. Принцип динамического отопления был предложен Томсоном (лордом Кельвином) и положен в основу действия современных тепловых насосов. Этот принцип заключается в использовании обращенного цикла тепловой машины для перекачки теплоты из окружающей среды в помещение.

Схема теплового насоса совпадает с приведенной на рис. 3.3 схемой холодильной машины. Основное отличие заключается в том, что теплота подводится к нагреваемому телу, например к воздуху в обогреваемом помещении, а теплота забирается из менее нагретой окружающей среды. Термодинамические циклы холодильной машины и теплового насоса совпадают (см. рис. 3.4).

К.п.д. теплового насоса определяется как отношение полученной нагреваемым телом теплоты к затраченной для этого механической работе :

.

(3.4)

Учитывая то, что отводимая от окружающей среды теплота всегда отлична от нуля, к.п.д. теплового насоса, в соответствии с его определением, обязательно должен быть больше единицы. Из сравнения формул (3.2) и (3.4) следует, что к.п.д. теплового насоса является величиной, обратной к.п.д. тепловой машины:

.

(3.5)

К.п.д. теплового насоса тем выше, чем больше теплоты отводится от окружающей среды. Указанный результат не противоречит законам термодинамики, так как в данном случае для перекачки теплоты от менее нагретой окружающей среды к более нагретому воздуху в помещении используется работа внешних сил. При этом на каких-то участках цикла рабочее тело может совершать положительную работу, так как при тепловом контакте с окружающей средой его температура должна быть ниже температуры среды.

Преимущество теплового насоса по сравнению с электронагревателем заключается в том, что на нагрев помещений используется не только преобразованная в теплоту электроэнергия, но и теплота, отобранная от окружающей среды. По этой причине эффективность тепловых насосов может быть гораздо выше обычных электронагревателей, что определяет их потенциальные возможности для широкого использования.

 

Цикл Карно

В 1824 году французский физик и военный инженер Никола Леонард Сади Карно (1796–1832) опубликовал свою работу "Размышления о движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу", в которой им были сформулированы основные положения теории тепловых машин и впервые предложено второе начало термодинамики. Но только в 1834 году, после придания Клапейроном этой теории доступной математической формы, идеи Карно получили широкое распространение для обоснования второго начала термодинамики.

При работе тепловой машины рабочее тело совершает замкнутый термодинамический цикл. Для любой реальной тепловой машины весь цикл, включая его отдельные процессы, необратим, что вызывает необходимость затрачивать часть произведенной работы для перевода рабочего тела в первоначальное состояние, обеспечивая замыкание кругового процесса. Указанные потери приводят к тому, что не вся произведенная работа становится полезной, а часть её теряется в самой тепловой машине, переходя в теплоту.

Максимальным к.п.д. обладает тепловая машина, в которой цикл рабочего тела состоит только из равновесных тепловых процессов, и, следовательно, является обратимым. Однако для осуществления нагревания и охлаждения необходим теплообмен рабочего тела с нагревателем и холодильником тепловой машины, который тем более эффективен, чем заметнее разность температур. Возникающие при этом тепловые потоки нарушают состояние теплового равновесия и делают эти процессы необратимыми. Чтобы избежать этого, необходимо теплообмен осуществлять при очень малой разности температур, в пределе, для достижения равновесного процесса, при бесконечно малой разности. Поэтому реализовать равновесный процесс при теплообмене можно только в случае теплового равновесия рабочего тела и нагревателя (или холодильника).

Таким образом, теплообмен с нагревателем и холодильником в рассматриваемой тепловой машине должен происходить при изотермических процессах, что эквивалентно требованию бесконечной медленности протекания этих процессов. Очевидно, что такое условие может быть выполнено только приближенно.

Другой процесс, который может протекать без возникновения тепловых потоков - это адиабатический процесс. Если он протекает бесконечно медленно, то такой процесс является равновесным и обратимым.

Указанные два равновесных процесса (изотермический и адиабатический) могут быть использованы для составления обратимого цикла. Такой обратимый круговой процесс, в принципе, может состоять из большого, в пределе даже бесконечного, числа следующих друг за другом изотермических и адиабатических процессов. Однако, для организации простейшего кругового процесса достаточно использования двух изотерм и двух адиабат. Такой равновесный термодинамический цикл получил название цикла Карно. Возможность осуществления такого циклического процесса связана с тем, что с помощью адиабатического процесса всегда возможен переход между любыми изотермами, а с помощью изотермического - между любыми адиабатами.

Составленный таким образом цикл имеет для термодинамики такое же существенное значение, как и материальная точка в механике. Любой квазиравновесный процесс может быть аппроксимирован большим числом таких элементарных циклов. Подобно тому, как в механике вопрос о возможности считать тело материальной точкой решается в зависимости от условий конкретной задачи, так и в термодинамике вопрос о том, является ли циклический процесс квазиравновесным или нет, зависит от условий той задачи, которую необходимо решить.

Очевидно, что между телами, находящимися при одинаковых температурах и, следовательно, в состоянии теплового равновесия, не может происходить теплообмен. Из этого следует, что если считать процессы строго изотермическими, то при их протекании рабочее тело не должно нагреваться от нагревателя и охлаждаться холодильником. То есть в циклическом процессе, состоящем из двух изотерм и двух адиабат, не может происходить передача теплоты между нагревателем (или холодильником) и рабочим телом. Однако, на примере такого простейшего идеального цикла (аналогично тому, как это делается в механике на примере материальной точки) можно изучить основные законы термодинамики, произвести их анализ.

Обратимый цикл Карно состоит из двух изотерм, описывающих процесс теплопередачи от нагревателя к рабочему телу и от рабочего тела к холодильнику, и двух адиабат, описывающих расширение и сжатие рабочего тела в тепловой машине (см. рис. 3.7). Температура нагревателя считается равной , а температура холодильника - соответственно . При этом температуры нагревателя и холодильника постоянны, что должно обеспечиваться бесконечно большой теплоемкостью используемых тепловых резервуаров.

Рис. 3.7. Термодинамический цикл Карно

 

При первом изотермическом процессе 1-2 происходит передача рабочему телу теплоты , причем эта теплота передается бесконечно медленно, при практически нулевой разнице температуры между нагревателем и рабочим телом. Далее рабочее тело подвергается адиабатическому расширению без теплообмена с окружающей средой (процесс 2-3). При последующем изотермическом процессе 3-4 холодильник забирает у рабочего тела теплоту . Процесс 4-1 представляет собой адиабатическое сжатие, переводящее рабочее тело в первоначальное состояние.

Рассчитаем к.п.д. цикла Карно в случае, если в качестве рабочего тела используется идеальный газ, масса которого равна . Уравнение адиабаты для переменных температура и объем имеет вид (см. формулу (2.86)):

.

(3.6)

Применение этого уравнения к процессам 2-3 и 4-1 позволяет получить условия

,

(3.7)

 

.

(3.8)

Деление выражения (3.7) на (3.8) дает

.

(3.9)

Учитывая, что процессы 1-2 и 3-4 являются изотермическими и, следовательно, происходят без изменения внутренней энергии газа, для получаемой и отдаваемой теплоты на основании первого начала термодинамики (1.4) и формулы (2.116) можно записать

,	(3.10)
.	(3.11)

Подстановка полученных выражений в формулу (3.2) дает выражение

,

(3.12)

которое, в свою очередь, с учетом соотношения (3.9), преобразуется к виду:

.

(3.13)

Полученное выражение позволяет определить коэффициент полезного действия цикла Карно обратимой тепловой машины, если в ней в качестве рабочего тела используется идеальный газ. Из приведенных формул следует, что к.п.д. такой тепловой машины всегда меньше единицы и полностью определяется температурами нагревателя и холодильника.

Расчет цикла Карно для реального газа

Проведем расчет к.п.д. цикла Карно для реального газа, уравнение состояния которого имеет вид:

,

(3.14)

а внутренняя энергия задается формулой

.

(3.15)

Необходимо отметить, что феноменологическая термодинамика, основанная на использовании общих принципов или начал, использует конкретный вид этих функций, полученных из результатов экспериментов или рассчитанных с помощью методов статистической физики.

Для рассматриваемого случая реального газа можно получить уравнение адиабаты. Подстановка формул (3.14) и (3.15) уравнение для адиабатического процесса: , позволяет получить дифференциальное уравнение

,

(3.16)

интегрирование которого дает уравнения адиабат для процессов 2-3 и 4-1 (см. рис. 3.7) в виде:

,	(3.17)
.	(3.18)

 

Уравнения (3.17) и (3.18) могут быть разрешены в явном виде относительно переменных и :

,	(3.19)
,	(3.20)

или относительно переменных и :

,	(3.21)
.	(3.22)

Для изотермических процессов 1-2 и 3-4 запишем общие выражения для получаемой и отдаваемой теплоты:

,

(3.23)

.

(3.24)

В этих формулах учтено то, что для реального газа при изотермическом процессе может происходить изменение внутренней энергии.

Тогда в соответствии с формулой (3.2) имеем выражение для к.п.д. цикла Карно

.

(3.25)

Подставляя в эту формулу выражения для и из уравнений (3.21) и (3.22) имеем

.

(3.26)

Аналогично подстановка в формулу (3.25) выражений для и из уравнений (3.19) и (3.20) дает

.

(3.27)

Сравнение выражений (3.26) и (3.27) приводит к тождеству:

,

(3.28)

которое может выполняться при произвольных значениях , , и только в том случае, если функции и представляют собой одинаковые зависимости от температур и и не зависят соответственно от , и , .

Следовательно, к.п.д. цикла Карно тепловой машины, в которой в качестве рабочего тела используется реальный газ, является функцией температуры нагревателя и холодильника и может быть записан в виде

 

.

(3.29)

Отметим, что проведенный анализ не позволяет сделать заключение о зависимости или независимости конкретного вида этой функции от физико-химических свойств рабочего тела.