Циркуляция вектора электрического поля

Мы уже отмечали тот факт, что электростатическое поле потенциально, поэтому его циркуляция по замкнутому контуру равна нулю:

Здесь ‑ напряженность электростатического поля, создаваемого неподвижными зарядами. Но электрическое поле может создаваться в частности, как мы видели, и меняющимся во времени магнитным полем. Опытным обоснованием этого факта есть явление электромагнитной индукции. Закон электромагнитной индукции имеет вид:

Здесь ‑ ЭДС, возникающая в замкнутом контуре, ‑ изменение магнитного потока, пронизывающего этот контур за промежуток времени .

С другой стороны ЭДС индукции можно записать как циркуляцию вектора напряженности сторонних сил по контуру L

Далее, выражение для магнитного потока запишем в виде

Производная по времени от магнитного потока будет выражаться как

Тогда закон электромагнитной индукции будет иметь вид

Далее, будем рассматривать полный вектор . В этом случае

Это есть уравнение Максвелла в интегральной форме ‑ циркуляция вектора напряженности электрического поля по замкнутому контуру равна производной по времени от потока магнитной индукции .

Ему также соответствует уравнение в дифференциальной форме: .

Ротор вектора напряженности электрического поля равен производной по времени от вектора индукции магнитного поля, взятой с обратным знаком.

Циркуляция вектора магнитного поля

Согласно теореме о циркуляции, можно записать:

Используя связь , запишем

Уравнения Максвелла.

Мы видели, что изменяющееся во времени магнитное поле индуцирует вихревое электрическое поле . Максвелл предположил, что и меняющееся во времени электрическое поле индуцирует вихревое магнитное поле . Причем закон их связи аналогичен уравнению

Это свое предположение он обосновывал, изучая прохождение переменного тока через конденсатор. В самом деле, между обкладками конденсатора находится диэлектрик, т.е. изолятор. Постоянный ток через конденсатор не проходит, переменный ‑ проходит!

В переменном поле происходит лишь смещение связанных зарядов диэлектрика от положения равновесия в обе стороны и получается как бы прохождение тока, аналогично постоянному току.

Поэтому ток через конденсатор называют током смещения. Найдем выражение для плотности тока через конденсатор, т.е. для тока смещения.

Таким образом

С другой стороны, напряженность поля внутри конденсатора равна

Следовательно

Максвелл предположил, что ток смещения обладает всеми свойствами тока проводимости и, в частности, создает магнитное поле:

Тогда, записывая, что плотность тока равна сумме плотности тока проводимости и плотности тока смещения ‑ циркуляцию магнитного поля можно записать в виде:

Таким образом, окончательное выражение для циркуляции магнитного поля будет иметь вид

Это ‑ последнее уравнение Максвелла в интегральной форме ‑ циркуляция вектора магнитного поля по замкнутому контуру равна сумме токов проводимости и токов смещения, охватываемых этим контуром.

Этому уравнению соответствует дифференциальная форма

Таким образом, мы получили все четыре уравнения Максвелла в интегральной форме:

Уравнения Максвелла в интегральной форме применяются к поверхности любой величины; величины, которые входят к ним относятся к разным точкам поля. Например, H есть напряженность магнитного поля в точках контура, ограничивает площадь, тогда как D зависит от точек на самой поверхности. Применим уравнения Максвелла к площади бесконечно малых размеров. В этом случае все величины будут отнесены к одной точке. Нх; Hy; Hz;-в точке из коэффициентов x, y, z. Этим четырем уравнениям в интегральной форме соответствуют четыре уравнения в дифференциальной форме:

К этим четырем уравнениям добавляют еще три уравнения среды:

Эти уравнения образуют замкнутую систему уравнений электромагнитного поля и описывают все многообразие электромагнитных процессов реального мира. Так мы от опытных, частных законов ‑ закон Кулона, закон Био-Савара, закон электромагнитной индукции ‑ пришли к обобщенным уравнениям электромагнитного поля.

Уравнения Максвелла содержат в себе все основные законы электрического и магнитного полей, включая электромагнитную индукцию, и являются уравнениями электромагнитного поля в средах. Теория Максвелла не только объясняла известные факты, но и предсказывала новые. На основании этих уравнений Максвелл предусмотрел существование электромагнитных волн, то есть переменного электромагнитного поля, распространение в пространстве с конечной скоростью. Теоретическое исследования этих волн привело Максвелла к объяснению электромагнитной природы света.

5.3 Распространение электромагнитных волн.

В начале рассмотрим распространение электромагнитных волн вдоль проводника согласно уравнению Максвелла переменное электрическое поле вызывает ток смещения

Таким образом, вихревые магнитные поля создаются и электрическими токами и изменениями вектора электрической индукции. . Если есть изменение магнитного поля по времени, то возникает вихревые электрические поля . Силовые линии порождающего поля концентрически охвачены силовыми линиями порождаемого поля. В результате образуется система «переплетенных» между собой электрических и магнитных полей. На рисунке представлен как бы мгновенный снимок этого единого электромагнитного поля. Прямая линия Е₀ изображает одну из силовых линий первичного переменного электрического поля, горизонтальные окружности В изображают силовые линии вторичных переменных магнитных полей, а вертикальные окружности Е − силовые линии вторичных переменных электрических полей. Поле E 1 противоположно E и будет компенсировать поле E, а полет H 1 - компенсирует H. В результате поля в точке 1 исчезают, но появляются в точке 2. Поэтому электрические и магнитные поля, взаимно поддерживая друг друга, будут распространяться вдоль линии. Поля электрическое и магнитное достигают max в одной точке. Они связаны правилом винта (правой тройки). Таким образом проводники играют вспомогательную роль и электромагнитные волны могут существовать и в свободном пространстве. Распространение такого переменного электромагнитного поля в пространстве и есть электромагнитная волна. Электромагнитная волна – это распространяющееся в пространстве переменное электромагнитное поле.

Электромагнитное поле распространяется в виде поперечной электромагнитной волны, состоящей из двух совпадающих по фазе волн − электрической (т.е. волны напряженности электрического поля) и магнитной (т.е. волны индукции магнитного поля).

Считаем, что некоторая физическая величина S распространяется вдоль оси X со скоростью v. (S - смещение, деформация, E или H и так далее) тогда s=f(t-τ)

где τ=х/v время запаздывания колебания

x- координата рассматриваемой точки

v - скорость распространения колебаний

f- символ функции то есть произвольная функция которая имеет аргумент (t - x/ v) и описывает волновой процесс.

Если двигаться вдоль оси x со скоростью v, тогда x=x₀+vt.

s=f(t-τ)=f(t-х/ v)=f(t-(х₀+ v t)/t)=const

то есть S не зависит от времени, т.е. распространяется со скоростью v. В общем случае s=f(t±τ)

где (-) соответствует волне распространения в положительном направлении x

(+) соответствует волне распространения в отрицательном направлению x

Продифференцировав s= f(t-х/ v)

получим

Получим уравнение, которое называется волновым уравнением. Если считать, что волна распространяется в произвольном направлении, тогда

Если какая либо физическая величина распространяется волнообразно, то она удовлетворяет волновому уравнению и наоборот, если рассматриваемая величина подчиняется волновому уравнению, то возможно ее распространение в виде волны.

Предположим, что в некоторой точке О бесконечной линии электрическое поле изменяется по закону E=E₀sinωt Так как электромагнитное поле распространяется вдоль линии, тогда на расстоянии X также возникают гармонические колебания, так как скорость распространение конечная, то время запаздывания τ=х/v и в точке X

Ранее было показано, что max электрического и магнитного полей совпадают, поэтому

Если волна распространяется в отрицательном направлении

мгновенное распределение электрических и магнитных полей в пространстве.

В распространяющейся электромагнитной волне колебания электрического и магнитного полей находятся в фазе.

Расстояние между двумя точками, в которых колебание отличаются по фазе на 2π называется длиной волны λ= v T

где k=2π/λ- волновое число

Как ранее отмечалось, токи смещения исполняют такую же роль, что и токи проводимости (в смысле замкнутости цепи). Провода играют вспомогательную роль, задавая лишь определенное направление распространения волны. Поэтому электромагнитные волны могут существовать и без всяких проводов.

Рассмотрим электромагнитное поле в однородном диэлектрике, то есть при отсутствии токов проводимости. В этом случае

Запишем уравнения Максвелла

Применим оператор векторно ещё раз:

Двойное векторное произведение может быть вычислено по правилу BAC-CAB:

Т.к. , а . То

Подставив получаем волновое уравнение для напряжённости магнитного поля

Где скорость распространения электромагнитной волны. Точно такое уравнение можно получить и для вектора напряжённости электрического поля.

Решением этих уравнений будет функция, описывающая электромагнитную волну и имеющая вид:

где - волновой вектор, - частота, - время. Оба вектора изменяются синфазно и имеют постоянную частоту. Такая волна является монохроматической.

Мы получили электромагнитную волну со взаимно перпендикулярным крестом векторов , и . Т.к. и колеблются перпендикулярно , то волна является поперечной. Если в данной волне найти точки постоянной фазы для и , то эти точки лежат в плоскости , перпендикулярной вектору . Такая волна называется плоской.

аргумент - называется фазой волны. Будем считать . Возьмём производную по времени: . Откуда. Мы получили скорость распространения постоянной фазы волны. Фазовая скорость – это скорость «перемещения фазы», а не материальных частиц, в общем случае она может быть больше скорости света с. Согласно другому определению, фазовая скорость – скорость распространения синусоидальной волны, так как она равна скорости перемещения в пространстве точек поверхности, соответствующей любому фиксированному значению фазы синусоидальной волны.