Дифракция плоских волн на полуплоскости (дифракция Фраунгофера)

Зоны Шустера. Для изучения дифракции на одномерных препятствиях, таких как прямолинейный край полубесконечного экрана, щель и цилиндр, Артур Шустер предложил разбивать плоский волновой фронт не на кольцевые, а на полосатые зоны Френеля. Рассмотрим случай, когда часть фронта волны перекрыта экраном в виде полуплоскости. Ограничимся случаем плоской волновой поверхности, что соответствует волне, испускаемой бесконечно удаленным источником.

В этом случае для нахождения распределения интенсивности вблизи границы тени, отбрасываемой экраном, принято разбивать волновую поверхность на узкие длинные полоски, параллельные краю полуплоскости, называемые зонами Шустера.

Расположим полуплоскость так, чтобы она совпала с одной из волновых поверхностей. На расстоянии b за полуплоскостью поставим параллельный ей экран, на котором выберем точку P. Разобьем открытую часть волновой поверхности на зоны Шустера. Ширину зон выбираем так, чтобы расстояния от точки P до краев двух соседних зон отличались на одинаковую величину . В этом случае колебания, создаваемые в точке P соседними зонами, будут отличаться по фазе на постоянную величину, равную π Зоны с номерами m и m ′ имеют одинаковую ширину и расположены относительно точки P симметрично. Поэтому колебания, создаваемые ими в точке P, совпадают по амплитуде и фазе.

Чтобы установить зависимость амплитуды от номера зоны, нужно оценить площадь зон. Из рисунка видно, что суммарная ширина первых m зон равна

Вследствие узости зон Δ<<b, при небольших m квадратичным членом под корнем можно пренебречь. Тогда . Так как , то суммарная ширина первых m зон может быть представлена следующим образом  Тогда ширина зоны с номером m равна . Из последней формулы можно получить  

В таких же соотношениях находятся и площади зон, а, следовательно, и амплитуды колебаний, создаваемых в точке P отдельными зонами. По мере увеличения m скорость убывания амплитуды уменьшается. В отличие от кольцевых зон Френеля на поверхности сферы площадь плоскопараллельных зон неодинакова. Поэтому векторы Е от разных зон имеют разную длину, тем меньшую, чем дальше находится зона от точки О.

Вычисление интенсивности в точке P удобно проиллюстрировать с помощью векторной диаграммы или методом графического сложения амплитуд. Разобьем волновую поверхность на зоны, аналогичные зонам Шустера. Колебание, создаваемое в точке P каждой из зон, изобразим в виде вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а угол, образуемый вектором с направлением, принятым за начало отсчета, дает начальную фазу колебания. Амплитуда колебаний, создаваемых такими зонами в точке P убывает при переходе от зоны к зоне. Так как убывание амплитуды замедляется, то ломаная линия, получающаяся при графическом сложении колебаний, возбуждаемых прямолинейными зонами, идет сначала более полого, чем в случае кольцевых зон. На рисунке представлена векторная диаграмма, соответствующая колебаниям, возбуждаемым зонами, лежащими справа от точки P.

Векторы, изображающие колебания, соответствующие зонам, расположенным слева, при построении диаграммы расположатся симметрично относительно начала координат O. Если ширину зон устремить к нулю, ломаная линия превращается в плавную кривую, которая называется спиралью Корню. Она состоит из двух симметричных ветвей, закручивающихся вокруг фокусов F₁ и F₂.

Уравнение спирали Корню в параметрической форме имеет вид:

 Эти интегралы называются интегралами Френеля. Они не берутся в элементарных функциях, но для них составлены таблицы и графики, по которым можно находить значения интегралов для разных u. Смысл параметра u заключается в том, что дает длину дуги кривой Корню, измеряемую от начала координат. Точки F₁ и F₂, к которым асимптотически приближается кривая при стремлении , называют фокусами спирали Корню. Их координаты (+0,5;+0,5) для точки F₁ и (0,5;-0,5) для точки F₂. Отрезок, соединяющий фокусы, имеет длину и образует с осью абсцисс угол π/4. Графически отобразил решение в виде центрально-симметричной спирали француз Мари Корню в 70-х г.г. 19 в. Поэтому диаграмму называют спиралью Корню. Участок АВ ₁ на спирали Корню соответствует действию правой зоны 1 на рис.115, участок В ₁ В ₂ - действию правой зоны 2 и так далее. Участки левой спирали соответствуют действию зон, расположенных слева от точки О.

На графике представлена спираль Корню, по координатным осям отложены соответствующие интегралы Френеля.

5.9.6 Дифракция на краю прямолинейного полубесконечного экрана. Совмещаем плоский волновой фронт с плоскостью экрана и производим разбиение фронта на зоны Шустера, параллельные краю экрана.

Если точка А находится точно под краем препятствия, как показано на рис.117, то все левые зоны Френеля оказываются закрыты препятствием. Действие волнового фронта в точке А определится правой ветвью спирали Корню. Отсюда длина светового вектора Е в точке А равна половине длины вектора Е _¥ от бесконечного волнового фронта. . (14.1)

При смещении точки А вправо открывается столько полувитков левой спирали, сколько укладывается левых зон (рис.118).

При смещении точки А влево в область геометрической тени закрываются не только витки левой спирали Корню, но и часть полувитков правой спирали (на рис.119 - три), соответствующих числу закрытых правых зон.

Вычисленный так вектор Е позволяет найти распределение интенсивностей в дифракционной картине на краю полубесконечного экрана (рис.120). Здесь Е _¥, I _¥ - световой вектор и интенсивность, создаваемые в точке А неограниченным волновым фронтом.