Практическое занятие № 14

Тема: Правила дифференцирования, производные элементарных функций.

Цель: Формирование умений анализа условия задачи, применения знаний правил дифференцирования для решения задач.

Методические указания.

 Правила дифференцирования. Производные элементарных функций

1.	11.
2.	12.
3.	13.
4.	14.
5.	15.
6.	16.
7.	17.
8.	18.
9.	19.
10.

 

Найти производные следующих функций:

Пример 1

y=х²-4х+3.

Решение:

у ^/ = (х²-4х+3) ^/ = (х²)^/ - (4х)^/ + 3^/.

По формулам 1,2, 3, 6 и 7 таблицы, получим у^/ = 2х-4.

Пример 2

.

Решение:

Вводя дробные и отрицательные показатели, преобразуем данную функцию:

.

Применяя формулы (6 и 7), получим:

.

Пример 3

. Вычислить .

Решение:

По формулам (5 и 7) получим:

.

Пример 4

Решение:

Раскрываем скобки и производим деление:

.

Используем дробные и отрицательные показатели, приводя данное выражение к виду (7) таблицы 2.1:

  .

Находим производную у ^/:

.

Пример 5

Найти производную 2-го порядка от функции  .

Решение:

Используя формулы дифференцирования, получим:

 .

Дифференцируя производную у ^/, имеем:

.

Пример 6

Движение летчика при катапультировании из реактивного самолета

можно приблизительно описать формулой  (м). Определить скорость и ускорение летчика через 2 с после катапультирования.

Решение:

По формулам 3, 6,7 и 8 таблицы 2.1:

 ,

Тогда v=3,7•3t² + м/с;

.

Производная сложной функции

Если , где , т.е. если у зависит от х через промежуточный аргумент u, то у называется сложной функцией от х.

Производная сложной функции равна произведению ее производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной: .

 Найти производные следующих функций:

Пример 7.

.

Решение:

Полагая 1+5х = u и у = u³, применяя правило дифференцирования сложной функции, имеем:

.

Пример 8

.

Решение:

Полагая 3х= u, найдем, используя соответствующие формулы:

.

Пример 9

.

Решение:

Полагая х³= u, найдем:

.

Пример 10

В какой момент времени скорость тела, движущегося по закону , равна 0? Найти ускорение тела.

Решение:

Скорость тела v - это первая производная от перемещения  по времени: ; закону

Если v=0, то 0=16t-15

Ускорение – это первая производная от скорости  по времени:  ; .

Содержание работы

Найти производные функций при данном значении аргумента:

№ 1

1.

2.

3. (2)

4.

5. ()

6.

7.

8.

9.

№ 2

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Контрольные вопросы

1.Запишите определение производной

2.Чем отличается производная сложной функции от производной элементарной функции?