Практическое занятие №15

Тема: Исследование функции с помощью производной.

Цель: ознакомление с понятиями монотонности функции, точками экстремума и экстремумами функции; формирование умения применять полученные знания для исследования функции.

Методические указания.

С помощью производной функции можно определить характер монотонности функции, точки экстремума, а также ее наибольшее и наименьшее значение на заданном промежутке.

Достаточное условие возрастания (убывания) функции:

а) если на заданном промежутке , то функция возрастает на этом промежутке;

б) если , то функция убывает на этом промежутке.

Экстремум функции

Максимумом (минимумом) функции называют такое ее значение, которое больше (меньше) всех ее других значений в окрестности рассматриваемой точки.

Максимум и минимум функции имеют локальный характер, поскольку отдельные минимумы некоторой функции могут оказаться больше максимумов той же функции.

Максимум и минимум функции называются экстремумом функции. Значение аргумента, при котором достигается экстремум, называется точкой экстремума. На рисунке значения , , , и являются точками экстремума рассматриваемой функции.

Критическими точками функции называют те значения аргумента, при которых производная функции равна нулю или не существует. Критические точки функции находят, решая уравнение: .

Пример 1. Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции .
Решение. Используя таблицу производных найдем производную функции: . Найдем критические точки: , , . Нанесем числа и на координатную прямую и установим знаки производной на полученных промежутках:

Ответ: На промежутках и функция возрастает. На промежутке функция убывает. Точки экстремума: , .

Пример 2. Найдите точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости графика функции .
Решение. 1. Используя таблицу производных найдем первую производную функции: .
2. Используя таблицу производных найдем вторую производную функции: .
3. Найдем критические точки второго рода: , .
4. Нанесем точку на область определения данной функции и установим знаки ее второй производной на полученных промежутках:

Ответ: На промежутке функция выпукла вверх; на промежутке функция выпукла вниз; – точка перегиба графика функции.

Пример 3. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .
Решение. 1. По формуле найдем производную данной функции: .
2. Найдем критические точки функции, решая уравнение , откуда , .
3. Найдем значение функции на концах отрезка и в критической точке , поскольку она принадлежит данному отрезку: , , .