Методические указания

Касательная к графику дифференцируемой в точке  функции f — это прямая, проходящая через точку (, f()) и имеющая угловой коэффициент f '()

               

Уравнение касательной к графику функции:  y=f(x₀)+f ¢(x₀)(x-x₀)

Алгоритм составления уравнения касательной:

1. Вычислить значение функции в точке касания f()

2. Найти производную функции f ¢(x)

3. Вычислить значение производной в точке касания f ¢()

4. Подставить значения , f(), f ¢() в уравнение касательной

у = f()+f ¢()(x- )

 

Пример1. (Если задана абсцисса точки касания)

Составить уравнение касательной к графику функции  в точке М с абсциссой 2.
Решение:

1. Вычислим значение функции:  

2. Найдём производную функции:

3. Вычислим значение производной:

4. Подставим эти значения в уравнение касательной: 

у =-3+9(х-2) = -3 + 9х -18 =9х-21

Ответ: у =9х-21

 

Пример2. (Если задана ордината точки касания)

Составить уравнение касательной в точке графика  с ординатой  

Решение:

1. Найдем абсциссу точки касания , 1-х = х +1, -2х=0,  = 0

2. Найдем производную функции  =  =

3. Найдем угловой коэффициент касательной k = : k =  =-2

4. Запишем уравнение касательной: у = k(х- )+b

y = -2 (x -0) +1=-2x+1

Ответ: y = -2x+1

 

Пример 3. (Касательная заданного направления)

Составить уравнение касательной к графику функции у = - , параллельной прямой у = 2х +3

Решение:

1. Так как касательная параллельна прямой у = 2х +3, то они имеют один и тот же угловой коэффициент k = 2, k = = = -2х

2. Абсцисса  точки касания удовлетворяет уравнению -2х = 2, значит

3. Значение функции в точке касания у(-1) = -  + 1 = -1+1=0

4. -2 =2

5. Составим уравнение касательной у = f()+f ¢()(x- )

у=0+2(х+1) = 2х+1

Ответ: у=2х+1

Содержание работы

№1. Составить уравнение касательной к графику функции f в точке с абсциссой

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

№2. Записать уравнение касательной к кривой в точке с ординатой

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

№3.

1. Записать уравнение касательной к графику функции , параллельной прямой у = 4х+3

2. Записать уравнение касательной к графику функции , параллельной прямой у = 1-х

№4.

1. Прямая у = 7х – 5 параллельна касательной к графику функции . Найдите точку касания

2. Прямая у = - 4х – 11 параллельна касательной к графику функции . Найдите точку касания

Контрольные вопросы

1. Что называется касательной к графику функции?

2. Формула уравнения касательной

3. Сформулировать алгоритм уравнения касательной

4. Условие параллельности двух прямых