Решение задач на тему «Призма. Параллелепипед.»

Задача № 1. Основанием прямой четырехугольной призмы является ромб с диагоналями 1,6 дм и 3 дм, боковое ребро призмы равно 10 дм. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

Решение:

Используя свойство – диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, найдем сторону.

OD=0,8 дм, OC=1,5 дм

Рассмотрим ∆СОD- прямоугольный.

CD=

CD=  дм

AB=BC=CD=AD=1,7 дм

 S=4∙ (1,7∙10)=68 дм².

 

Ответ: 68 дм²

 

Задача № 2. Ребро куба равно а. заполните таблицу, используя формулы:

Диагональ грани:d= a√2

Диагональ куба: D= a√3

Периметр основания: P= 4a

Площадь грани: S=a²

Площадь диагонального сечения: Q= a²√2

Площадь поверхности куба: S= 6a²

Периметр и площадь сечения, проходящего через концы трех ребер, выходящих из одной вершины: P= 3a√2,         

 

Задача № 3. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см, боковое ребро - 6 см. Найдите Sсеч, проходящего через сторону верхнего основания и противолежащую вершину нижнего основания.

Решение:

Треугольник A₁B ₁C₁ - равнобедренный(A₁ B=C₁B как диагональ равных граней)

1)Рассмотрим треугольник BCC₁– прямоугольный

BC₁ ² =BС² +CC₁ ²

BC₁= =10 см

2) Рассмотрим треугольник BMC₁– прямоугольный

BC₁ ² = BM^{2 +} M C₁ ²

BM² = BC₁ ² -M C₁ ²

BM² =100-16=84

BM= =2   см

3) Sсеч =   A₁C₁ *BM= ∙8∙2 =8  см²

Ответ: 8  см²

ПИРАМИДА

Определение. Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника- основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания,- вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.

 

А- вершина пирамиды;

AB, AC, AD, AE- ребра пирамиды;

ADE, AEB, ABC, ACD- боковые грани пирамиды;

BCDE- основание пирамиды;

AО- высота;

AF- апофема;

AEC-диагональное сечение.

Определение. Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника. Осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая ее высоту.

У правильной пирамиды боковые ребра равны, а боковые грани – равные равнобедренные треугольники.

 

Определение. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.

Если сечение пирамиды параллельно основанию, то мы получим усеченную пирамиду.

Определение. Усеченной пирамидой называется часть пирамиды, заключенная между ее основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.

 

 

А₁А₂ А₃А₄А₅ и В₁В₂В₃В₄В₅ - нижнее и верхнее основания усечённой пирамиды

А₁В₁, А₂В₂, А₃В₃… - боковые ребра усечённой пирамиды

А₁В₁ В₂А₂, В₂А₂В₃А₃… - боковые грани усечённой пирамиды. 

 СН – перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки верхнего основания к нижнему основанию – называется высотой усечённой пирамиды

 

Свойства усеченной пирамиды:

· Основания усеченной пирамиды — подобные многоугольники.

· Боковые грани усеченной пирамиды — трапеции.

· Боковые ребра правильной усеченной пирамиды равны и одинаково наклонены к основанию пирамиды.

· Боковые грани правильной усеченной пирамиды — равные между собой равнобедренные трапеции и одинаково наклонены к основанию пирамиды.

· Двугранные углы при боковых ребрах правильной усеченной пирамиды равны.

 

Усеченную пирамиду полученную из правильно пирамиды называют правильной.

Высоту боковой грани правильной усеченной пирамиды называют ее апофемой.

 

У правильной усеченной пирамиды:

• Боковые грани равны;
• Боковые ребра равны;
• Апофемы равны;
• Двугранные углы при каждом основании равны;
• Боковые углы при боковых ребрах равны.