Свободные (незатухающие) колебания осциллятора

1 2

ЛЕКЦИЯ № 11

Раздел 4. Колебания и волны

Колебания – это процесс, в котором какая-либо физическая величина повторяется с течением времени.

Если повторяемость осуществляется через равные промежутки времени, то колебания называются периодическими.

Минимальный промежуток времени, в течение которого совершается одно полное колебание, называется периодом.

, (11-1)

где n – линейная частота колебаний – количество колебаний за единицу времени, Гц;

– циклическая (круговая) частота колебаний – количество колебаний за 2 p сек, с^-¹.

Система, совершающая периодические колебания у положения равновесия, называется осциллятором.

Примеры осцилляторов:

Гл. 1. Колебания

Свободные (незатухающие) колебания осциллятора

Колебания осциллятора, происходящие в бездиссипативной среде (, R = 0), называются свободными (незатухающими) колебаниями.

- пружинный маятник

(11-2)

- физический маятник

(11-3)

- математический маятник

(11-4)

- электрический колебательный контур

Заряженный конденсатор создает электрическое поле, которое обладает энергией. После подключения конденсатора к катушке начинается разряд конденсатора, в цепи появляется электрический ток, в катушке возникает магнитное поле. Т. к. сила тока в цепи будет изменяться, то изменяющееся магнитное поле согласно явлению самоиндукции приведет к возникновению электрических колебаний.

В таком осцилляторе (электрический колебательный контур) возникнут колебания заряда и напряжения на конденсаторе, силы тока в цепи, энергии электрического и магнитного полей.

(11-5)

Если обозначить коэффициент перед вторым слагаемым в уравнениях (11-2) – (11-5) через и ввести обобщенную координату , тогда дифференциальное уравнение любого осциллятора, совершающего свободные (незатухающие) колебания, примет вид:

(11-6)

Решением такого дифференциального уравнения является функция:

или (11-7)

где = А – обобщенная амплитуда колебания – максимальное отклонение колеблющейся величины от положения равновесия;

j = - фаза колебания ( - начальная фаза колебания).

Колебания, происходящие по закону косинуса или синуса с постоянной амплитудой (у которых квазиупругая сила пропорциональна смещению в первой степени, а потенциальная энергия пропорциональна квадрату смещения), называются гармоническими.

Осциллятор – гармонический осциллятор.

Линейные гармонические колебания – колебания, у которых период колебания Т ₀ не зависит от начальной амплитуды колебания.

Циклическая (круговая) частота и период свободных (незатухающих) линейных колебаний соответствующих гармонических осцилляторов вычисляют по формулам:

(11-8)