Основные формулы тригонометрии и их свойства

1 2 3

I. Теоретические сведения

Радианная мера угла

Тригонометрические функции различных углов

Основные формулы тригонометрии и их свойства

Функции синус и косинус

Графики функций синус и косинус. Синусоида

Функции тангенс и котангенс

Построение графиков функций тангенса и котангенса

Основные тригонометрические функции

Радианная мера угла

Угол в 1 радиан - это такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности (см рисунок ниже). Радианная и градусная меры угла связаны между собой отношением: 180^о = &pi радиан, а угол n^о равен π*n/180 радиан.

Радианная мера угла позволяет упростить некоторые формулы. Например, для окружности радиуса r длина ее дуги l в α радиан вычисляется по формуле: l = α*r. Площать S сектора круга радиуса r, дуга которого содержит α радиан, равна: S=αr²/2. Эти и другие преимущества привели к тому, что в тригонометрии обычно пользуются только радианной мерой угла.

Таблица значений тригонометрических функций углов

В нижеприведенной таблице приведены значения тригонометрических функций различных углов, заданных в радианах. Напоминаем, что Π приблизительно равняется 3.14 радиан.

π/6

π/4

π/3

π/2

2π/3

3π/5

5π/6

7π/6

5π/4

4π/3

3π/2

5π/3

7π/4

11π/6

2π

sin(α)

1/2;

√2/2

√3/2

√2/2

1/2

-1/2

-√2/2

-√3/2

-1

-√3/2

-√2/2

-1/2

cos(α)

√3/2

√2/2

1/2

-1/2

-√2/2

-√3/2

-1

-√3/2

-√2/2

-1/2

1/2

√2/2

√3/2

tg(α)

1/√3

√3

-√3

-1

-1/√3

1/√3

√3

-√3

-1

-1/√3

ctg(α)

√3

1/√3

-1/√3

-1

-√3

√3

1/√3

-1/√3

-1

-√3

Основные формулы тригонометрии и их свойства

Дадим определения тригонометрическим функциям синуса, косинуса, тангенса и котангенса. возьмем любой прямоугольный треугольник. Из курса геометрии мы знаем, что у него есть два катета и гипотенуза, причем угол между двумя катетами прямой - то есть равен 90^o, или π/2 радиан.

Рассмотрим угол α, который образован одним из катетов и гипотенузой.

Синусом угла α называется отношение длин противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом угла α называется отношение длин прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом угла α называется отношение длин противолежащего катета к прилежащему.

Котангенсом угла α называется отношение длин прилежащего катета к противолежащему.

Из определений тригонометрических функций сразу же следуют тригонометрические тождества:

Немного более сложным путем можно получить формулы сложения тригонометрических функций:

Из формул сложения очевидным образом можно получить формулы приведения тригонометрических функций:

Для запоминания формул приведения можно воспользоваться следующим правилом:
1. Перед приведенной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция в случае если 0 < α< π/2 (см. рисунок ниже).

2. Функция меняется на кофункцию, если n нечетно, и не меняется, если n - четно. Кофункциями для функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса соответсвенно являются косинус, синус, котангенс и тангенс.

Так же при решении различных задач, связанных с тригонометрией, часто используются формулы суммы и разности синусов и косинусов:

Из них легко получить формулы двойного аргумента:

При помощи замены переменных легко получить формулы половинного угла:

4. Функции синус и косинус.

Окружность радиуса r=1 с центром в начале координат называют единичной окружностью. Пусть точка P_α единичной окружности получена путем поворота точки P₀ на угол α радиан против часовой стрелки. Ордината точки P_α - это синус угла α, а абсцисса этой точки - косинус угла _α.

Далее и везде будем считать, что значения всех углов задано в радианах, если только специально не указаны другие единицы измерения. Таким образом, если написано α=1, то подразумевается, что угол α равен 1 рад.

Определение. Числовые функции, заданные формулами y=sin(x) и y=cos(x) называют соответсвенно синусом и косинусом (обозначают соответсвенноsin и cos).

Область определения этих функций - вся прямая действительных чисел. Область значения этих функций - отрезок [-1;1]:

D(sin)=D(cos)=R

E(sin)=E(cos)=[-1;1]

Функция sin(x) является нечетной функцией:

sin(-x)=-sin(x)

Функция cos(x) является четной функцией:

cos(-x)=cos(x)

Обе функции sin(x) и cos(x) являются периодическими с периодом T=2π:

sin(x+Tn)=sin(x)

cos(x+Tn)=cos(x), где n - любое целове число.

Синусоида.

Построим график функции синус на отрезке [0;2π]. Отметим на оси ордина точки (0;-1) и (0;1), а на оси абсцисс точку с абсциссой 2π (что приблизительно равно 6.28). Слева нарисуем единичную окружность.

Теперь разделим единичную окружность и отрезок [0,2π] на 16 равных частей и воспользуемся определением синуса для построения ее графика. Отметим точку P_α на единичной окружности и проведем через нее линию, параллельную оси абсцисс. Точка пересечения этой линии с прямой x=α и есть искомая точка графика функции синуса. Ее ордината совпадает с ординатой точки P_α, а функция sin по определению и есть ордината точки P_α.

Для продолжения графика по оси ОХ дальше, чем точка x=2π, необходимо воспользоваться свойством периодичности функции sin(x): sin(x+2πn)=sin(x), где n - целое число. Таким образом, график синуса на всей числовой прямой получается путем параллельного переноса его части на отрезке [0;2π] вдоль оси ОХ на 2π, 4π, 6π, и т.д.

Графи функции sin(x) называется синусоидой. Отрезок оси ординат [-1;1] иногда называют линия синусов.

Для построения графика функции cos(x) воспользуемся формулой приведения: cos(x)=sin(x+π/2). Следовательно, график функции косинуса получается из графика синуса путем его параллельного переноса на π/2 в отрицателньом направлении оси абсцисс. График функции косинуса так же называется синусоидой. См. рисунок ниже.