Функции тангенс и котангенс

Числовые функции, заданные формулами y=tg(x) и y=ctg(x), называют соответственно тангенсом и котангенсом (и обозначают соответственно tg и ctg).

Областью определения функции тангенс является множество всех чисел x кроме тех, где cos(x)=0: x≠π/2+πn, где n - любое целое число.

Областью определения функции котангенс является множество всех чисел x кроме тех, где sin(x)=0: x≠πn, где n - любое целое число.

Проведем касательную l к единичной окружности в точке P₀. Пусть α - произвольное число, для которого cos(α)≠0. Тогда точка P_α (cos(α),sin(α)) не лежит на оси ординат, и, следовательно, прямая OP_α пересекает l в некоторой точке T_α с абсциссой 1. Необходимо найти ординату этой точки.

Заметим, что прямая OP_α проходит через точки О(0,0) и P_α(cos(α),sin(α)), поэтому она имеет уравнение y=xtg(α). Абсцисса T_α=1, из вышеприведенного уравнения прямой находит ординату T_α - tg(α).

Итак, ордината точки пересечения прямых OP_α и l равна tg(α). Прямую l иногда называют линией тангенсов.

Нетрудно по аналогии показать, что абсцисса точки C_α пересечения прямой OP_α с касательной m к единичной окружности, проведенной через точку P_π/2, равно ctg(α) при sin(&alpha)≠0. Прямую m называют линией котангенсов.

Область значений тангенса (котангенса) - вся числовая прямая. Докажем это для функции tg.

Пусть y₀ - произвольное действительное число. Рассмотрим точку T(1,y₀). Следуя показанному выше, тангенс угла TOX равен y₀. Следовательно, функция tg принимает любое действительное значение.

Функции тангенс и котангенс обладают следующими свойствами:

1. tg(-x)=-tg(x), ctg(-x)=-ctg(x) - функции тангенс и котангенс являются нечетными функциями.

2. tg(x+πn)=tg(x), ctg(x+πn)=ctg(x), n - целое.