Задания2: Рассмотрите решение задач

Пример 1. Окружность с центром в начале координат задаётся уравнением х²+у²=R²

Тогда её часть расположенная выше оси абсцисс есть график функции , где .

Используя геометрический смысл определённого интеграла площадь круга радиуса R

 Вычислите этот интеграл.

3. Объём тела вращения

Пусть Г график непрерывной положительной функции у=f(x) в прямоугольной системе координат хОу. Необходимо вычислить объём тела вращения, ограниченного поверхностью вращения кривой Г вокруг оси х и плоскостями, проходящими через точки х = а, х = b перпендикулярно оси х. Если тело разбито на части как можно найти его объём? Объём тела равен сумме объёмов тел, его составляющих. Поэтому можно разбить наше тело на части.

Разобьем отрезок [a;b] на части точками a<x₀<x₁<…..<x_n<b. Рассмотрим цилиндр с высотой и радиуса основания y_k = f(x_k).

Как можно вычислить объём цилиндра?

Тогда объем нашего цилиндра будет равен

Тогда объём всего тела может быть записан при помощи приближённого равенства . Чтобы получить точное равенство надо взять предел

По определению определённого интеграла мы получили формулу для вычисления объёма тела вращения.

4. Решение задач

. Используя формулу объёма тела вращения, получите формулу для вычисления объёма конуса.

Чтобы воспользоваться полученной формулой необходимо задать с помощью функции прямую, которую будем вращать вокруг оси Ох.

Уравнение прямой y=kx

k – угловой коэффициент прямой k=tg

тогда уравнение прямой примет вид , а . найдите формулу объёма конуса.

5. Вычислите объём тела, полученного вращением кривой – графика функции у= sinx, 0?х??, вокруг оси Ох.

1.  Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями (слайд 14)

, х=0, у= вокруг оси Оу

Решение:

Аналогично можно доказать, что объём тела, полученного вращением вокруг оси Оу можно вычислить по формуле