Доказать интегральную предельную теорему Муавра-Лапласа

Пусть 0< p <1, тогда для схемы Бернулли при n  для любых a и b справедлива формула

.

Отсюда, в частности, следует, что для вычисления вероятности того, что число успехов в n испытаниях Бернулли заключено между k ₁ и k ₂, можно использовать формулу

,

где , , - функция Лапласа.

Точность этой приближенной формулы растет с ростом n.

Если npq сравнительно невелико, то лучшее приближение дает формула

и для вычисления вероятности того, что число успехов в n испытаниях Бернулли заключено между k ₁ и k ₂, можно использовать формулу

, где , .

Доказать теорему Бернулли о сходимости относительной частоты появления события к вероятности этого события.

Доказать неравенство Чебышева.

Если случайная величина Х имеет математическое ожидание и дисперсию, то для любого

Докажем это неравенство для абсолютно непрерывной случайной величины. Для дискретных случайных величин доказательство проводится аналогично, только интегралы заменяются соответствующими суммами.

Обозначим МХ = а, имеем:

 (1)

Область интегрирования  можно записать в эквивалентной форме , поэтому в этой области , (2)

Последний интеграл с неотрицательной подынтегральной функцией может только возрасти, если расширить область интегрирования до всей прямой:

(3)

Собирая последовательно равенство (1) и неравенства (2),(3), получаем неравенство Чебышева.

Доказать теорему Чебышева.

Если независимые случайные величины  имеют математические ожидания  и ограниченные в совокупности дисперсии , то разность средних арифметических случайных величин и средних их математических ожиданий сходится по вероятности к нулю:

В самом деле, применим неравенство Чебышева к случайной величине . Поскольку

то

Следовательно,

таким образом, действительно