Тема: «метод координат в пространстве»

Три попарно перпендикулярные прямые, на которых выбрано направление и единичные отрезки, называются прямоугольной системой координат в пространстве.

Прямые с выбранными на них направлениями называются осями координат, а их общая точка – началом координат. Она обозначается буквой О. Оси координат обозначаются так: Ох, Оу. Их называют: ось абсцисс, ось ординат, ось аппликат. Вся система обозначается Охуz.

Три плоскости, проходящие соответственно через оси координат Ох и Оу, Оу и Оz, Оz и Ох - координатные плоскости. Их обозначают Оху, Оуz, Оzх.

Точка О разделяет каждую из осей координат на 2 луча, один из них – положительная полуось, другой – отрицательная полуось.

В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются её координатами.

М (х; у; z), х – абсцисса, у – ордината, z- аппликата.

 

При решении задач в координатах применяют правила:

 

1. Если вектор  имеет координаты , то его можно разложить по координатным векторам

       где - координатные (базисные) векторы.

Базисные векторы записываются следующим образом:

Пусть даны векторы  и

2. Если , то

3.

4.  

5.

Скалярное произведение векторов:

Скалярное произведение векторов в координатах:

6. Признаки ортогональности и коллинеарности  векторов.

1) , если = 0 {векторы перпендикулярны (ортогональны), если их скалярное произведение (сумма произведений одноименных координат) равно нулю}.

 

2) , векторы параллельны(коллинеарные) если координаты векторов пропорциональны

Пусть даны векторы  и , если .

Вычисление координат середины отрезка

 и    - середина отрезка

Вычисление длины вектора по его координатам

Расстояние между двумя точками

  

Угол между векторами      и

Угол между прямыми, где     и  - направляющие векторы прямых

 

Примеры решения задач:

№1

Дано:

    

                               Решение

1) Находим координаты вектора          ;

2) Затем находим координаты вектора     

3) Теперь находим аналогично координаты вектора  

4) Теперь находим сумму данных векторов, складывая соответствующие координаты:

Ответ:  

№ 2

Дано:

    

; 2) .

                               Решение

1.

1) Находим координаты вектора                    ;

2) Затем находим разность векторов  

;

3) Теперь находим длину вектора :  

 

2.

1)   Находим координаты вектора

;

2) Находим координаты вектора

;

3) Затем находим сумму векторов  

;

4) Теперь находим длину вектора :

 

 

 

Ответ:  

 

ВАРИАНТ

1. По данным рисунка определите координаты всех точек.

2. Найдите длины векторов: АВ, BD, DC,CF, FE, DA.

3. Найдите скалярное произведение векторов: AB и CF,  FE и DA.

4. Вычислите угол между векторами BD и DC.

 

                                                                                    

 

_______________________________________________________________________

 

 

ВАРИАНТ

1. По данным рисунка определите координаты всех точек.

2. Найдите длины векторов:  ВC, DF, DE, BF, AE, CE.

3. Найдите скалярное произведение векторов: DF и AE;  BF и DE.

4. Вычислите угол между векторами BC и CE.

 

Домашнее задание «Метод координат в пространстве» Вариант 1 1.Даны точки  А(5; 0; 2), В(4; -3; 2), С(0; 0; 1), D(2; -4; -4). Найдите: а) координаты векторов  и ; б) координаты векторов ;           ; . в) длины векторов ; г) скалярное произведение векторов 2. Вершины треугольника КМN имеют координаты K(-2; 3; -2), M(8; 1;2), N(2; -3; 0). Найдите: а) координаты середины стороны КМ; б) длины сторон треугольника и определите вид этого треугольника (равносторонний, равнобедренный или разносторонний); в) вычислите косинус угла М и определите вид этого угла (острый, прямой или тупой)

Домашнее задание «Метод координат в пространстве» Вариант 2 1.Даны точки А(5; -5; 0), В(-2; 1; -3), С(0; 3; 1), D(1; 3; -4). Найдите: а) координаты векторов  и ; б) координаты векторов ;         ; . в) длины векторов ; г) скалярное произведение векторов 2. Вершины треугольника КМN имеют координаты K(8; 3; 5), M(14; 1;0), N(12; -5; 0). Найдите: а) координаты середины стороны КМ; б) длины сторон треугольника и определите вид этого треугольника (равносторонний, равнобедренный или разносторонний); в) вычислите косинус угла М и определите вид этого угла (острый, прямой или тупой)

Домашнее задание «Метод координат в пространстве» Вариант 3 1.Даны точки А(4; 4; 0), В(1; 0; 5), С(-1; -5; 0), D(10; -1; 0). Найдите: а) координаты векторов  и ; б) координаты векторов ;          ; . в) длины векторов ; г) скалярное произведение векторов 2. Вершины треугольника КМN имеют координаты K(3; 8; -4), M(-5; 8;4), N(-5; 0;-4). Найдите: а) координаты середины стороны КМ; б) длины сторон треугольника и определите вид этого треугольника (равносторонний, равнобедренный или разносторонний); в) вычислите косинус угла М и определите вид этого угла (острый, прямой или тупой)

Домашнее задание «Метод координат в пространстве» Вариант 4 1.Даны точки А(3; 0; 3), В(0; -3; 1), С(-1; 2; 1), D(4; 4; -2). Найдите: а) координаты векторов  и ; б) координаты векторов ;         ; . в) длины векторов ; г) скалярное произведение векторов 2. Вершины треугольника КМN имеют координаты K(5; -1; -3), M(1; 6;2), N(9; 6; 2). Найдите: а) координаты середины стороны КМ; б) длины сторон треугольника и определите вид этого треугольника (равносторонний, равнобедренный или разносторонний); в) вычислите косинус угла М и определите вид этого угла (острый, прямой или тупой)

 

 

Домашнее задание «Метод координат в пространстве» Вариант 5 1.Даны точки А(-1; -2; -1), В(3; -2; 0), С(4; -4; 0), D(0; 3; 2). Найдите: а) координаты векторов  и ; б) координаты векторов ;     ; . в) длины векторов ; г) скалярное произведение векторов 2. Вершины треугольника КМN имеют координаты K(4; 5; -3), M(6; 13;0),N(-4; 7; 0). Найдите: а) координаты середины стороны КМ; б) длины сторон треугольника и определите вид этого треугольника (равносторонний, равнобедренный или разносторонний); в) вычислите косинус угла М и определите вид этого угла (острый, прямой или тупой)

Домашнее задание «Метод координат в пространстве» Вариант 6 1.Даны точки А(3; 3; 1), В(-3; 1; -3), С(0; -2; 5), D(2; 3; 4). Найдите: а) координаты векторов  и ; б) координаты векторов ;     ; . в) длины векторов ; г) скалярное произведение векторов 2. Вершины треугольника КМN имеют координаты K(4; -3; 5), M(7;-12;0), N(-1; -7; 2). Найдите: а) координаты середины стороны КМ; б) длины сторон треугольника и определите вид этого треугольника (равносторонний, равнобедренный или разносторонний); в) вычислите косинус угла М и определите вид этого угла (острый, прямой или тупой)

Домашнее задание «Метод координат в пространстве» Вариант 7 1.Даны точки А(1; -2; 0), В(2; 2; 3), С(3; 0; 5), D(-4; -1; -2). Найдите: а) координаты векторов  и ; б) координаты векторов ;      ; . в) длины векторов ; г) скалярное произведение векторов 2.  Вершины треугольника КМN имеют координаты K(-2; 0; 4), M(8; -2; 4), N(6; 8; 4). Найдите: а) координаты середины стороны КМ; б) длины сторон треугольника и определите вид этого треугольника (равносторонний, равнобедренный или разносторонний); в) вычислите косинус угла М и определите вид этого угла (острый, прямой или тупой)

Домашнее задание «Метод координат в пространстве» Вариант 8 1.Даны точки А(-3; 1; 0), В(0; 0; 1), С(2; -2; 2), D(-1; -1; -4). Найдите: а) координаты векторов  и ; б) координаты векторов ;     ; . в) длины векторов ; г) скалярное произведение векторов 2. Вершины треугольника КМN имеют координаты K(8;7;-3), M(10;15;-3),N(2;13;-3). Найдите: а) координаты середины стороны КМ; б) длины сторон треугольника и определите вид этого треугольника (равносторонний, равнобедренный или разносторонний); в) вычислите косинус угла М и определите вид этого угла (острый, прямой или тупой)

 

 

Домашнее задание «Метод координат в пространстве» Вариант 9 1.Даны точки А(3; 0; 2), В(-1; -2; 4), С(0; 0; 2), D(-3; 3; 2). Найдите: а) координаты векторов  и ; б) координаты векторов ;     ; . в) длины векторов ; г) скалярное произведение векторов 2. Вершины треугольника КМN имеют координаты K(8; 3; 4), M(14; 1;0), N(12;-5;-4). Найдите: а) координаты середины стороны КМ; б) длины сторон треугольника и определите вид этого треугольника (равносторонний, равнобедренный или разносторонний); в) вычислите косинус угла М и определите вид этого угла (острый, прямой или тупой)

Домашнее задание «Метод координат в пространстве» Вариант 10 1.Даны точки А(0; -2; 1), В(-2; -2; 0), С(1; 2; 3), D(1; 0; -1). Найдите: а) координаты векторов  и ; б) координаты векторов ;        ; . в) длины векторов ; г) скалярное произведение векторов 2. Вершины треугольника КМN имеют координаты K(0; -2; 5), M(-2;8;-1), N(8; 6; 4). Найдите: а) координаты середины стороны КМ; б) длины сторон треугольника и определите вид этого треугольника (равносторонний, равнобедренный или разносторонний); в) вычислите косинус угла М и определите вид этого угла (острый, прямой или тупой)

Домашнее задание «Метод координат в пространстве» Вариант 11 1.Даны точки А(-2; 0; 3), В(1; 1; 1), С(3; -2; -2), D(1; 2; 0). Найдите: а) координаты векторов  и ; б) координаты векторов ;       ; . в) длины векторов ; г) скалярное произведение векторов 2. Вершины треугольника КМN имеют координаты K(3; 8; 3), M(8; 14; 1), N(6;12;-5). Найдите: а) координаты середины стороны КМ; б) длины сторон треугольника и определите вид этого треугольника (равносторонний, равнобедренный или разносторонний); в) вычислите косинус угла М и определите вид этого угла (острый, прямой или тупой)

Домашнее задание «Метод координат в пространстве» Вариант 12 1.Даны точки А(-1; 2; -2), В(3; -3; 0), С(0; 1; -1), D(-2; 3; 1). Найдите: а) координаты векторов  и ; б) координаты векторов ;     ; . в) длины векторов ; г) скалярное произведение векторов 2.  Вершины треугольника КМN имеют координаты K(2;-2; 3), M(2; 8; 1), N(2; 2;-3). Найдите: а) координаты середины стороны КМ; б) длины сторон треугольника и определите вид этого треугольника (равносторонний, равнобедренный или разносторонний); в) вычислите косинус угла М и определите вид этого угла (острый, прямой или тупой)