Формы представления трехфазных величин

Рассмотрим различные способы представления трехфазной системы электрических или магнитных величин.

Мгновенные значения трехфазной системы (токов, напряжений, эдс, потокосцеплений и т. д.) можно представить тремя способами, как это показано на рис. 1. 10, а, б, в. Первый способ (рис. 1.10, а) состоит в том, что трехфазная система векторов Еа, Еb, Ес, сдвинутых друг относительно друга на 120°, вращается с угловой скоростью . Проекции Еа, Еb, Ес на неподвижную ось времени дадут мгновенные значения е_а, е_b, e_c. Аналогичный результат можно получить, если проектировать вектор Е, вращающийся с угловой скоростью , на неподвижные оси времени, сдвинутые друг относительно друга на 120°, как это показано на      рис. 1.10, б). Вектор Е в этом случае называют обобщенным (изображающим) вектором эдс трехфазной системы.

Рис. 1.10. Определение мгновенных значений эдс в трехфазной системе

На рис. 1.10, в  приведена развертка во времени проекций е_а, е_b, e_c для первого и второго способов представления трехфазных величин и обозначен момент времени t ₀, соответствующий состоянию трехфазной системы векторов (рис. 1.10, а) и обобщенного вектора (рис. 1.10, б.)

Обобщенный вектор широко применяется для представления трехфазной системы, в том числе при построении векторных диаграмм напряжений, токов и т. д. Обобщенный вектор можно определить не только в трехфазной системе координат, но и в декартовой двух координатной системе, как это показано на рис. 1.10. На рисунке он представлен одновременно проекциями e_d и e_q на оси dq, вращающиеся с такой же угловой скоростью как и вектор Е, и проекциями на неподвижные оси времени    фаз − е_а, е_b, e_c.

Если система координат dq и вектор Е вращаются с одинаковой угловой скоростью, а вектор Е не изменяется по модулю, то очевидно, что проекции e_d и e_q остаются неизменными во времени, т.е. постоянными величинами.

Выведем соотношения между проекциями е_а, е_в, е_с (мгновенными значениями эдс в трехфазной системе координат) и проекциями в двух координатной системе e_d и e_q.

Проекции вектора Е на оси dq в соответствии с рис. 1.11 будут:

а их связь с фазными переменными (проекциями e_a, e_в, е_с) определяется равенствами

(1.6)

 

Решив систему (1.6) относительно e_d, e_q, найдем:

(1.7)

 

Обобщенный вектор Е вычисляется при этом по теореме Пифагора:

Соотношения (1.6) и (1.7), справедливы только для случая, когда сумма фазных величин равна нулю. Для режима работы трехфазной системы, когда сумма фазных переменных не равна нулю, необходимо ввести новую переменную: е₀ = 1/3 (е_а + е_в + е_с). Уравнения преобразования координат (1.6), (1.7) для такого режима работы трехфазной системы будут иметь следующий вид:

 

(1.8)

 

(1.9)

 

        

.

Рис. 1.11. Преобразование координат

Учитывая, что угол g непрерывно изменяется при вращении вектора Е по закону g = wt, то для преобразования трехфазной системы в двух координатную систему dq, необходимо вычисление функций sinwt, cosw t.

Наиболее широкое применение преобразование трехфазной системы координат в систему координат dq 0 получило при математическом моделировании синхронных и асинхронных электрических машин. В этом случае удается избавиться от периодически изменяющихся коэффициентов в уравнениях вращающихся друг относительно друга контуров ротора и статора.

Пример. На рис. 1.12, а представлены осциллограммы трехфазного напряжения и тока, протекающего в трехфазной цепи с сопротивлениями фаз Z = 2 + jw ×0,05 Ом. Действующее значение фазных напряжений U = 10 В. В осциллограммах на рис. 1.12, б представлены составляющие напряжений и токов по осям d и q, полученные на matlab -модели, приведенной на рис. 1.13.

Выполним расчет составляющих напряжения и тока по осям d и q аналитически и сопоставим с результатами моделирования в системе Matlab.

Преобразование напряжений. Значения составляющих по осям d и q определяются подстановкой в систему уравнений (1.7) мгновенных значений фазных напряжений:

 

u_a = u_m cos wt;

u_в = u_m cos(wt - 120°);

u_c = u_m cos(wt + 120°),

где u_m = √2 × 10 = 14,14 В – амплитудное значение напряжения.

В результате подстановки и соответствующих преобразований     имеем:

Учтя, что g = wt + a (см. рис. 2.10), получим:

Аналогично найдем:

При a = 0, u_d = 14,14 В, u_q = 0 В, обобщенный вектор напряжения

Преобразование токов. В систему уравнений (1.5) подставим мгновенные значения фазных токов с учетом угла сдвига тока относительно        напряжения:

 

где i_m= u_m / ê z ê= 14,14 / ê2 + j 314 × 0,05 ê=14,14 /15,82=0,89 A; j_к = arctg wL / R = arctg 314 × 0,05 / 2 = 82,74°.

В результате подстановки мгновенных значений фазных токов в систему уравнений (1.6) имеем:

 

При a = 0, i_d = 0,89 · cos j _к = 0,112 А.

В результате аналогичных преобразований для i_q получим:

i_q = 0,89 sinj_к = 0,886 A.

Обобщенный вектор тока:

Рассчитанные значения составляющих тока и напряжения по осям dq соответствуют данным осциллограммы рис.1.12, полученной с помощью MATLAB-модели на рис. 1.13.

Рис. 1.12. Преобразование трехфазных токов и напряжений в координаты dq 0

Рис. 1.13. Модель преобразования координат abc ® dq 0

В модели трехфазный источник настраивался на трехфазное амплитудное линейное напряжение 14,42 В. Блоки преобразования трехфазных токов и напряжений в систему координат dq 0 решают систему уравнений (1.9), а необходимые для преобразования координат сигналы sin wt и cos wt подаются от блоков Discrete Virtual PLL, которые настраиваются на частоту 50 Гц.